2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 16:17 


25/08/11

1074
Как следствие разработанного мною давно некоторого метода для получения обобщений для дискретного и интегрального неравенств Коши-Буняковского было получено такое уточнение интегрального неравенства:
$$
\left(\int_a^b f(x)g(x)\ dx \right)^2 \le \int_a^b (max(f(x),g(x)))^2 \ dx \cdot \int_a^b (min(f(x),g(x)))^2 \le 
\int_a^b f^2(x)\ dx \cdot \int_a^b g^2(x)\ dx 
$$

Пусть все функции интегрируемы, даже гладкие, сейчас это не важно. Понятно, что содержательно только правое неравенство, левое-это обычное К-Б, так как $fg=\min(f,g)\cdot \max(f,g)$. Вопросы:

1) Это неравенство встречалось ранее? Если да, укажите, пожалуйста, ссылку.
2) Кроме того, что это следствие более общих неравенств, относительно простое независимое доказательство нашёл и сообщил мне тоже достаточно давно Анатолий Кореновский (Одесса). У этого неравенства есть совсем простые доказательства?

Рассчитываю на помощь, заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sergei1961
Спасибо за интересную тему. Благодаря ей мне удалось познакомиться с чем-то не очень сложным для понимания, но в то же время новым (для меня) и красивым. Редкая удача.

По этой ссылке можно познакомиться с рассматриваемым неравенством (Следствие 8.2 к Теореме 8) и более общими результатами, а также с аналогами в дискретном случае. Насчёт первого упоминания / использования я ничего сказать не могу -- подобные неравенства открывались и независимо переоткрывались различными математиками многократно. По умолчанию склонен доверять обзору автора упомянутой статьи.

По второму вопросу -- всё это не выглядит на первый взгляд слишком сложным в плане доказательств, здесь скорее сложность в оригинальном подходе и обнаружении более глубоких связей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Можно поискать в старой книжке "Неравенства" Харди-Литтлвуда-Пойа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

grizzly
Спасибо за ссылку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 19:42 


25/08/11

1074
Ребята, спасибо за ссылку на мой обзор и хорошие слова о нём. Вот хочется найти ссылку на данное неравенство, что оно уже было. Пока такой ссылки не знаю, а я у многих хороших математиков спрашивал. Тут дело не в том, чтобы собой гордиться, а хочется выяснить вопрос до конца. Конечно, что такое неравенство было, вероятность большая, в виду его простоты.
А про доказательство-не такое оно и тривиальное. Найдёте совсем простое-буду благодарен. У меня оно как предельный случай получается из средних степенных или Радо. Там работало неравенство Чебышёва, тут прямого доказательства я пока найти похожим методом не могу.
Все классические книги по неравенствам я читал или просматривал, наверное, опять это не чтобы гордиться, а это одна из моих тем, обязан. Там этого неравенства нет. Тем более в ХЛП. Хотя действительно, первым шагом к этим обобщениям было неравенство Милна именно из ХЛП, но про это в обзоре честно написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
grizzly в сообщении #992596 писал(а):
По второму вопросу -- всё это не выглядит на первый взгляд слишком сложным в плане доказательств

sergei1961 в сообщении #992669 писал(а):
А про доказательство-не такое оно и тривиальное.

:D (это я над собой потешаюсь)
Ну значит одно из двух: или у Вас талант объяснять простым языком, концентрируясь на идеях, или Вы просто не потрудились набить себе цену одним из "400 относительно честных способов". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
sergei1961
Можно разбить отрезок точками, в которых $f(x)-g(x)$ меняет знак. Тогда вроде относительно просто выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 20:58 


25/08/11

1074
Спасибо, попробую, сразу не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
sergei1961
Так это ваш? Спасибо вам, обзор очень клёвый.

Оно же вроде очевидно, не? Если обе функции достаточно хорошие на отрезке, то они пересекаются в конечном числе точек, разбиваем отрезок интегрирования по этим точкам, задача сводится к такой:
пусть есть последовательности $x_i, y_i, i = 1..n$ и пусть $m_i = \min(x_i,y_i), M_i = \max(x_i,y_i)$ доказать:
$ (\sum_i m_i) (\sum_i M_i) \leqslant (\sum_i x_i) (\sum_i y_i)$

-- 19.03.2015, 20:01 --

Опередили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 21:07 


09/02/15
37
Контрпример (ну или может я туплю, в любом случае, простите):

$[a, b] = [-1, 1]$, $f(x) = \operatorname{sign} x$, $g(x) = 0$

Тогда $\int_a^b (\max(f(x),g(x)))^2 \ dx = \int_a^b (\min(f(x),g(x)))^2 = 1$, а правая часть равна 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение19.03.2015, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
odelschwank
Функции неотрицательные должны быть. В обзоре это отмечено.

-- 19.03.2015, 21:20 --

sergei1961
Для случая одной перемены знака на отрезке (как у Вас в "конвертике") разность левой и правой частей неравенства представляется в виде произведения интеграла от $f^2-g^2$ по одному отрезку и $g^2-f^2$ по второму, а это больше либо равно нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение20.03.2015, 07:20 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Простое доказательство такое. Пусть $h = \min(f,g) \geqslant 0$ и $d = \max(f,g) - \min(f,g) \geqslant 0$. Тогда для некоторой функции $\lambda(x)$ имеем $f = h + \lambda d$ и $g = h + (1-\lambda) d$. Причем функция $\lambda$ принимает только значения 0 и 1. В силу чего $\lambda^2 + (1-\lambda)^2 = 1$.
Ну а теперь подставляем все это и раскрываем скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение20.03.2015, 09:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
sup
Действительно, просто и очень красиво!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение20.03.2015, 09:43 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
:-)
Само неравенство было для меня неожиданным. Я попробовал построить контрпример, а взамен нашел это доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточнение неравенства Коши-Буняковского через max и min.
Сообщение20.03.2015, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
sup в сообщении #992902 писал(а):
В силу чего $\lambda^2 + (1-\lambda)^2 = 1$.

Почему?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group