Некорректность в определении группы

[Kras]

(Оффтоп)

AlexDem
Тут лучше спросить lek, что насчёт этой книги... Но может быть я слишком рано полез в такие темы без специальной подготовки. Я вроде бы смотрел отдельные главы Клиффорда-Престона, и я там не понял вообще ничего...

[Mitrius_Math]

По сути, аксиомы группы есть высказывания. Если не связать е квантором существования в третьей аксиоме, будем иметь одноместный предикат, а не высказывание. Поэтому согласен с Padawan.

-- Вс мар 15, 2015 14:01:40 --

[Mitrius_Math]

Думаю, группу можно определить следующими способами.
1. Пусть: 1) $G$ - непустое множество.
2)$ \odot : G^2 \to G$ - бинарная операция.
Пара $(G, \odot)$ называется группой, если выполняются:
а) $\forall x,y,z \in G (x \odot y) \odot z=x \odot ( y \odot z)$;
б) $\exists \forall x x \odot e=x$;
в) $\exists e\forall x \exists x' xx'=e$.

2. Пусть: 1) то же самое;
2) то же самое;
3) $': G \to G$ - унарная операция.
Пара $(G, \odot)$ называется группой, если выполняютя:
а) то же самое;
б) то же самое;
в) $(\exists e) (\forall x)(x \odot x'=e)$.

3. Ввести единицу в сигнатуру. Тогда вторая и третья аксиомы будут выглядеть так:
б) $(\forall x \in G)(x \odot е=x)$;
в) $(\forall x \in G)(x \odot x'=e)$

[AGu]

Mitrius_Math, если почитать эту ветку, то наверняка можно догадаться, что одним лишь навешиванием в пункте в) квантора $\exists\,e$ мы получим не группу, а... не знаю, как она называется. Для определенности я назову ее фигней (а точнее, фигней с правой единицей, хотя наверняка есть более подходящий термин). Беда в том, что в пунктах б) и в) эти самые $e$ чисто формально могут быть разными. (Мы это все уже неоднократно проходили.) Например, если в качестве $(G,{\odot})$ взять $\mathbb R^2$ с поточечным умножением, то получится фигня: это не группа (так как, например, у элементов $(0,0)$ и $(1,0)$ нет обратных), но всем аксиомам фигни удовлетворяет, причем в пункте б) в качестве $e$ можно взять честную единицу $e=(1,1)$, а в пункте в) — совсем наоборот, наглый ноль $e=(0,0)$.

Да что я! Можно же просто $\mathbb R$ взять с обычным умножением. Или даже $\mathbb Z$. И тоже будет фигня — ровно по той же причине.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #990420 писал(а):

В одном месте $xyx=x,$ в другом $xyx=x\wedge yxy=y.$ Поскольку и там и там говорится о единственном элементе, эти условия не соотносятся как "более широкое - более узкое", они могут удовлетворяться или не удовлетворяться в любых сочетаниях.

Ну как: единственный псевдообратный ($xyx=x$) влечёт единственность обратного ($xyx=x\wedge yxy=y$). А обратно нет — Курош как раз об этом.

Mitrius_Math в сообщении #990635 писал(а):

Ввести единицу в сигнатуру.

Проще всего так и сделать.

[AGu]

Nemiroff в сообщении #990653 писал(а):

Ну как: единственный псевдообратный ($xyx=x$) влечёт единственность обратного ($xyx=x\wedge yxy=y$).

Думаю, речь шла об общелогической ситуации. В данном конкретном случае с этой импликацией нам просто «повезло». А в общем случае из существования единственного элемента со свойством $A$ может и не следовать существование элемента со свойством $A\land B$.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #990653 писал(а):

Ну как: единственный псевдообратный ($xyx=x$) влечёт единственность обратного ($xyx=x\wedge yxy=y$)

Если псевдообратный существует и единственный, то обратный может не существовать вообще. Если обратный существует и единственен, то псевдообратный существует, но не обязательно единственен. Так что,

$$\exists!\,y\quad xyx=x\qquad\overset{\textstyle\nRightarrow}{\underset{\textstyle\nLeftarrow}{}}\qquad\exists!\,y\quad xyx=x\wedge yxy=y.$$

[Nemiroff]

Munin в сообщении #990886 писал(а):

Если псевдообратный существует и единственный, то обратный может не существовать вообще.

Если псевдообратный существует и единствен, то это группа. А потому не может.
Более того, для одного отдельного элемента: пусть $y$ единственный псевдообратный для $x$, т. е. $xyx=x$. Тогда $xyxyx=xyx=x=x(yxy)x$, а значит по единственности $yxy=y$.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #990893 писал(а):

Если псевдообратный существует и единствен, то это группа.

Если псевдообратный существует и единствен для каждого $x,$ то это группа.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #990902 писал(а):

Если псевдообратный существует и единствен для каждого $x,$ то это группа.

Да. А вторым предложением у меня идёт "для отдельного элемента".

[Munin]

Nemiroff в сообщении #990893 писал(а):

Более того, для одного отдельного элемента: пусть $y$ единственный псевдообратный для $x$, т. е. $xyx=x$. Тогда $xyxyx=xyx=x=x(yxy)x$, а значит по единственности $yxy=y$.

Верно. Но отсюда не следует, что $\exists!\,z$ такой что $yzy=y.$ Могут быть и другие такие $z\ne x.$ Что в инверсных полугруппах и наблюдается.

[Nemiroff]

Да. Но это не в ту степь. Если для $x$ существует единственный псевдообратный, до для $x$ существует единственный обратный. А вы пишете, что у $y$ может быть какой-то другой (псевдо)обратный.

[Munin]

Окей. Какова ваша версия, почему инверсные полугруппы (1) существуют, и (2) не являются группами по теореме на math.SE?

[Nemiroff]

Э-э-э, судьба у них такая --- существовать. $0$ и $1$ с обычным умножением формируют инверсную полугруппу, но не группу.

[Munin]

Я спрашиваю, почему теорема к ним неприменима. Или применима, и в теореме есть ошибка?