Трехзначное число

[raizak]

Необходимо привести пример трехзначного числа $Q$, обладающего следующими свойствами:
1) Сумма цифр числа $Q$ кратна $8$;
2) Сумма цифр числа $Q+1$ также кратна $8$;
3) В числе $Q$ сумма крайних цифр кратна средней цифре.

Установлено, что числа $619, 789, 969$ вполне себе подходящие, но получены они, скажем так, относительно математическим путем. От вас же прошу помочь доказать это формальным, чисто математическим путем. Допустим, что $x$ - первая цифра, $y$ - вторая цифра, $z$ - третья цифра. Тогда...

[ИСН]

Что Вы хотите доказать? Что $6+1+9$ делится на 8? Да, делится. Любого спросите.

[gris]

Из первых двух пунктов следует, что последняя цифра $9$. Далее рассматриваем варианты, когда сумма равна $16$ или $24$. Проще перебрать все, чем решать системы уравнений. Полный перебор является строгим доказательством, а недолгий — очень даже приемлемым. Ещё попадутся $349$ или $529$, например.

[raizak]

gris, я думал, что здесь возможно как-нибудь ухищриться доказать формальным образом, например, как доказываются некоторые диофантовы уравнения (имеется в виду не просто перебором всех целочисленных решений ). Оказывается, здесь все куда проще. Спасибо!

[gris]

Ну если Вам вздумается каким-то образом обобщить задачу, то может быть и имеет смысл порассуждать. Но если не видно простого общего решения, то перебора дюжин простых вариантов вполне годится.

[Nataly-Mak]

gris в сообщении #988509 писал(а):

Проще перебрать все, чем решать системы уравнений.

А что, здесь такая сложная система уравнений получается?
В лоб записать все три условия. Как мне кажется, ничего сложного в этой системе нет.
ТС надо привести пример решения задачи. От него даже не требуется найти все решения.

[ИСН]

raizak в сообщении #988582 писал(а):

формальным образом, например, как доказываются некоторые диофантовы уравнения (имеется в виду не просто перебором всех целочисленных решений ).

У диофантовых уравнений обычно множество поиска бесконечно. Поэтому если удалось его свести к конечному перебору, это уже победа.
У Вас перебор с самого начала конечный. Тут в этом смысле и задачи-то нет.

[gris]

Nataly-Mak, если сразу разобраться с последней девяткой, то первые два условия сольются. Останутся два уравнения на две переменные (первая и вторая цифры). Но любое условие кратности добавляет параметр. Всё равно придётся рассматривать ограничения, случаи. Мне кажется, что просто не получится. Длина доказательства с уравнениями будет больше длины с перебором. Это же не компьютерный чёс по всем трёхзначным числам, а обоснованный перебор двенадцати простых вариантов. В сущности это даже не перебор, а рассуждения типа: рассмотрим варианты для второй цифры. Она не может быть нулём. Допустим, единица... Допустим, двойка... Ну уныло, да. Впрочем, я не удивлюсь, если будет подано красивое решение
Впрочем, Вы в этих делах разбираетесь куда лучше меня.

[Nataly-Mak]

Да, но... ТС просил привести именно формальное математическое решение задачи.
Я понимаю, что условие кратности добавляет параметр. И что же в этом страшного?
Уравнения с параметрами решать не умеем?

[raizak]

gris, задание-то школьное, просто я падок на формальности. Можно только изначально сказать, что сумма числа Q должна быть либо 8, либо 16, либо 24, собственно, что должно условится и для числа Q+1. Но я бы не спешил обзывать это формальностью; скорее логичностью. Очевидно, что из такого соображения вместо перебора 899 чисел, мы переберем гораздо меньше.

-- 11.03.2015, 11:53 --

ИСН,

(Оффтоп)

я не зря смайлик поставил

[Лукомор]

raizak в сообщении #988618 писал(а):

Очевидно, что из такого соображения вместо перебора 899 чисел, мы переберем гораздо меньше.

Первые два условия дают всего 12 чисел.
Третье условие отделяет от них 5 чисел (они были перечислены выше), зачем перебирать 899, непонятно?!
------------
Можно только изначально сказать, что третья цифра - всегда 9, а сумма первых двух цифр равна 7 (всего 8 вариантов) или 15 (всего 4 варианта).
При этом вторая цифра - $y=8-n$ , где $n$ проходит значения от 1 до 8,
либо $y=10-n$ где $n$ проходит значения от 1 до 4;
А сумма первой и третьей цифр в первом случае изменяется от 9 до16, а во втором случае сумма первой и третьей цифр изменяется от15 до 18.

[raizak]

Лукомор, это в виду верной, адекватной логики. Примитивная же логика сетует мне такое рассуждение: 100 -- число трехзначное, следовательно, нулевое условие выполняется. Но беда -- 1 не кратно 8, следовательно не выполняется первое условие. И т.д.

-- 11.03.2015, 12:35 --

Цитата:

Можно только изначально сказать, что третья цифра - всегда 9

Кстати, интересное заключение. Но ведь и оно требудет достойного обоснования. Мы не можем сначала подорать все числа, а потом доказывать все формально

[ИСН]

raizak в сообщении #988633 писал(а):

Кстати, интересное заключение. Но ведь и оно требудет достойного обоснования.

Ну тривиально же: если последняя цифра не 8, то сумма цифр числа $Q+1$ - это на 1 больше суммы цифр $Q$. Как же она будет делиться на 8?

[grizzly]

(Nataly-Mak)

Nataly-Mak в сообщении #988617 писал(а):

Да, но... ТС просил привести именно формальное математическое решение задачи.

Вообще-то в ПРР среднестатистический ТС (я, например, когда выступаю в этой роли) хочет прежде всего разобраться, хотя не всегда может подобрать верную формулировку, чтобы донести это желание до собеседников. Поэтому не всегда следует идти на поводу якобы желаний ТС.

Участники форума обычно легко видят, какое решение учебных задач будет наилучшим с точки зрения обучения математики / развития навыков и т.д и т.п.
Многие (я в том числе) против решения простых задач дурацкими методами. Для большинства из этих методов можно составить свои задачи, где они будут в самый раз.

[provincialka]

raizak в сообщении #988633 писал(а):

Кстати, интересное заключение. Но ведь и оно требудет достойного обоснования.

Ну и обоснуйте. Там одна фраза-то и нужна.

Ой! Уже ИСН обосновал. Странно! На него не похоже.

ЗЫ. Вы неправильно цитаты вставляете. Выделите нужный текст и нажмите кнопку "Вставка"