2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение07.03.2015, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
В $n$-мерном пространстве висит точечный источник света. Его нужно со всех сторон закрыть чёрными $n$-шарами произвольного радиуса, не содержащими светящуюся точку и не пересекающимися друг с другом.

- Какое минимальное количество шаров для этого необходимо?
- Каково при этом максимальное число точек касания шаров?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение07.03.2015, 14:45 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Симплексы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение07.03.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Очевидно, что число шаров не меньше $n+1$. Если окажется, что шаров $n+1$, то будет очевидно, что точек касания не более чем $n(n+1)/2$. Если окажется, что точек касания $n(n+1)/2$, то - да, они будут на рёбрах симплекса с вершинами в центрах шаров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение07.03.2015, 15:08 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Об этом речь и шла ;-) Ну так, по-моему, очевидно, что такая конструкция сработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение10.01.2020, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Вот даже для трёхмерного пространства неочевидно, что можно достичь шести точек касания.

P.S. Задачу немного успели обсудить тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение10.01.2020, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Вот как-то совсем неочевидно, что в трёхмерном пр-ве хватит 4-х шаров...
А в одномерном - точек касания 0 - и совсем неочевидно почему симплексы...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение10.01.2020, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Geen в сообщении #1434227 писал(а):
Вот как-то совсем неочевидно, что в трёхмерном пр-ве хватит 4-х шаров...

Очевидно, если допустить, что шары можно делать очень разного размера. Тогда задача сводится к покрытию сферы кругами (сферическими), радиуса меньше $\pi/2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение10.01.2020, 03:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Надо бы дойти руками до конкретной реализации и повертеть её чтобы убедить воображение…)

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение13.01.2020, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Пусть пространство трёхмерное, а наименьший из четырёх шаров имеет единичный радиус. Каков минимально возможный радиус наибольшего шара в случае $k$ точек касания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение13.01.2020, 22:43 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
Как пятью (в 3D) знаю, два тетраэдра центров шаров, а вот четырьмя что-то не выходит закрыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение20.01.2020, 10:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Dmitriy40
1. Возьмите сначала правильный тетраэдр. Источник света расположите в центре. А 4 одинаковых микроскопических шарика разместите центрами в вершинах тетраэдра. Так как шарики микроскопические, они пока что не закрывают источник.
2. Теперь начинайте синхронно увеличивать радиусы шаров, не обращая внимание на их пересечение друг с другом. Остановитесь, когда источник будет закрыт. Это произойдёт раньше, чем шары коснулись бы источника (чего допускать нельзя).
3. Первый шар пусть останется на месте. Второй увеличьте и удалите от источника так, чтобы он больше не пересекался с первым шаром, но закрываемый им конус остался тем же. И так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение20.01.2020, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Но тогда это работает при произвольном $n$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Закрыть точечный источник света шарами
Сообщение20.01.2020, 17:31 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
Спасибо, да, оказалось всё просто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group