2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение05.11.2007, 02:04 


22/09/07
6
Набирал целый час - пропал интернет и с ним все мои труды :cry:

Больше подробно набирать не буду :evil: , поэтому вкратце решать можно так:

Найти все решения $a/b - c/d = 0, 0<a<b<p, 0<c<d<p$. Для этого построить классы эквивалентности дробей для каждой неприводимой (несократимой) дроби $a/b, 0<a<b<p$.
Получим, что таких равенств может быть:
$\sum_{n=1}^{p-1}\varphi(n)*[p/n]^2$ ,где $\varphi(n)$ функция Эйлера.
Такое же кол-во может быть для дробей: $0<b<a<p, 0<d<c<p$ .
Для случая $a = b, c = d, 0 < a,b,c,d < p$ количество равенств $a/b - c/d = 0$ будет: $(p-1)^2$.
Кол-чество равенств $a/b - c/d = 0$ когда один из множителей равен 0 есть: $(2p-1)^2$.
Тогда общее кол-во случаев $ad - bc = 0, 0\leqslant a,b,c,d < p$ будет равно:

$(2p-1)^2 + (p-1)^2 + 2*\sum_{n=1}^{p-1}\varphi(n)*[p/n]^2$ .

Эту сумму можно оценить асимптотически - если автору это очень нужно, пусть даст знать.
Удачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2007, 14:28 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Yuri1111 писал(а):
Вообще то, количество решений $ad=bc=0$ при $0\leqslant a,b,c,d \leqslant p-1$ есть $(2p-1)^2$.
Кроме того , количество решений $ad=n$ есть $\tau(n)$ БЕЗ ограничения $0\leqslant a,d \leqslant p-1$; а с учетом этого ограничения, решений будт меньше (или равно), так как надо отбросить решения где один из множителей больше или равен $p$.
Так что надо еще поработать... :wink:
Согласен, ограничение не учёл :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group