2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение25.02.2015, 00:28 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Добрый вечер. У меня есть такой вопрос: пусть после линеаризации системы неоднородных дифф уравнений получилось так, что $\lambda_j = a_j i$, то есть все собственные числа чисто мнимые. Это точка равновесия типа центр. Такая точка усточива, однако, утверждается, что не факт, что для изначальной системы эта точка будет устойчивой. Аргументируют это тем, что следующий член ряда Тейлора начинает играть вескую роль. Мне непонятно почему это так, ведь устойчивость по Ляпунову говорит про окрестности, то есть, можно выбрать такую окрестность стац точки, что в этой окрестности линейный член перебьет квадратичный и мы получим наши центры, то есть точка и будет устойчивой

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение25.02.2015, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В окрестности, где линейный член перебивает квадратичный, система крутится в цикле вокруг центра. За один оборот линейные члены в точности компенсируют друг друга. А квадратичные-то нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение25.02.2015, 01:53 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ИСН
а компенсируют они друг друга из-за $Re \lambda_j= 0$? То есть первые обороты будут окей, а последующие могут выйти за окрестность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение25.02.2015, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Компенсируют они друг друга из-за того, что вот так получается. Не знаю, что для Вас первично. Возьмите какую-нибудь линейную систему с известным точным решением и посмотрите, как это происходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:12 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
ИСН
Вот беру я систему: $$\begin{cases}
\dot{x} =y& \\ 
\dot{y} =-x
\end{cases}$$
Получаю окружности. Это понятно, точка устойчива. А вот если взять нелинейную систему, которая линеаризуется к данной:
$$\begin{cases}
\dot{x} =\sin(y)& \\ 
\dot{y} =-x
\end{cases}$$
Я решил эту систему численно в матлабе и получил что-то такое:
Изображение
Если увеличить время, то видно, что траектория наматывается не по идеальной окружности, но, все же, по окружности: Изображение
Но это, все же, случай, когда устойчива точка. А Вы не могли бы подсказать пример, когда будет неустойчива?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну введите какое-нибудь возмущение, чтобы оно накапливалось, что ли.
$$\begin{cases} \dot{x} =y + 0.01x^3\\
\dot{y} =-x+0.01y^3 \end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:32 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, получилось, вижу. Спасибо
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Если отмотать время ещё на один оборот или даже меньше, можно увидеть весьма драматический момент. "Открыл дверь, а они как ломанулись."

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:41 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Вы про эти моменты, да :D
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость линеаризованной системы
Сообщение26.02.2015, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ага.
Ну да это всё лирика, нас же интересовало поведение в окрестности центра. А там сами видите что. И это можно сделать поправкой любого порядка. То есть нельзя сказать "всё решают первые 2 или там 3 производные". Не всегда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group