2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 функция Эйлера
Сообщение22.02.2015, 13:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Доказать, что для любого натурального m и $\forall \epsilon>0$
существует бесконечно много взаимно простых с m натуральных чисел n, что
$$\phi(2^n-1)<\epsilon 2^n.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция Эйлера
Сообщение22.02.2015, 14:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
$m$ фиксировано, значит можно брать любое $n$, содержащие делители $p>p_0$
$\frac{\varphi(2^n-1)}{2^n}<\frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1}\leqslant \prod\limits_{p|2^n-1}\left(1-\frac{1}{p}\right)$.
Пусть $p_j,...,p_k$ - последовательные нечетные простые $>p_0$.
Покажем, что можно подобрать $n$ такое, что для любого $t:j\leqslant t\leqslant k$ имеем $p_t\mid 2^n-1$. Возьмем $n=\varphi(p_j...p_k)$. Тогда
$\prod\limits_{p|2^n-1}\left(1-\frac{1}{p}\right)\leqslant \prod\limits_{p_j\leqslant p\leqslant p_k}\left(1-\frac{1}{p}\right)\to 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{p_j\leqslant p\leqslant p_k}\frac{1}{p}\to +\infty$, что очевидно при $k\to +\infty, j=C(m)=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция Эйлера
Сообщение22.02.2015, 15:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Sonic86 в сообщении #981193 писал(а):
Покажем, что можно подобрать $n$ такое, что для любого $t:j\leqslant t\leqslant k$ имеем $p_t\mid 2^n-1$.

Это не верно. Например, если m четно, то n должно быть нечетным, но никакое простое число вида $p=\pm 3 mod 8$ не делит число $2^n-1$ с нечетным n.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция Эйлера
Сообщение23.02.2015, 14:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Все проходит если брать простые числа вида $p=4km-1$.
Для квадратичного вычета a их порядок (делитель $(4km-2)/2=2km-1$) взаимно прост с m. Если m нечетное и так взаимно прост.
Когда m четно простое вида $p=4km-1=7\mod 8$ и 2 квадратичный вычет.
Из расходимости ряда $$\sum_{p=-1\mod 4m}\frac 1p$$ расходится и отсюда следует вывод.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group