2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 04:31 


01/03/13
2502
Всем известно, кто изучал квантовую механику, что существует несколько проблем при решении уравнения Шредингера многочастичных (да иногда и одночастичных) систем. Это 1) неизвестный вид волнового уравнения, 2) неразделение переменых интегрирования.
Второе возникает в основном из-за наличия в гамильтониане члена, отвечающего за потенциальную энергию взаимодействия между частицами.
А что если перенести эти взаимодействия в часть гомильтониана, отвечающего за кинетическую энергию? Ведь частицы действуют друг на друга силой, а значит придают друг другу изменение импульса.
Сам я дальше копать не стал. Над решением уравнени Шредингера в свою очередь работало много ученых, наверника подобную мысль проверяли.
Хотелось бы узнать как это влияет возможность решать уравнения Ш. для такого гамильтониана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Osmiy в сообщении #981100 писал(а):
А что если перенести эти взаимодействия в часть гомильтониана, отвечающего за кинетическую энергию?

А как конкретно вы предлагаете это сделать?

По сути-то, дело не в том, за потенциальную или за кинетическую энергию отвечает этот член. Дело в том, что этот член отвечает за взаимодействие. Если у нас есть две невзаимодействующие подсистемы, то гамильтониан имеет вид двух независимых слагаемых:
$$\widehat{H}_0(q_1,q_2,q_1',q_2')=\widehat{H}_1(q_1,q_1')+\widehat{H}_2(q_2,q_2'),$$ и тогда в уравнении можно разделить переменные подсистем $q_1$ и $q_2.$ Но если системы становятся взаимодействующими, то гамильтониан приобретает вид
$$\widehat{H}(q_1,q_2,q_1',q_2')=\widehat{H}_1(q_1,q_1')+\widehat{H}_2(q_2,q_2')+\widehat{H}_{12}(q_1,q_2,q_1',q_2'),$$ и третий член нельзя приписать ни к первому, ни ко второму, и переменные перестают разделяться.

Osmiy в сообщении #981100 писал(а):
Сам я дальше копать не стал. Над решением уравнени Шредингера в свою очередь работало много ученых, наверника подобную мысль проверяли.

Это хорошо, что вы это понимаете, и в то же время хорошо, что вы придумали и высказали свою идею. Таких идей надо придумывать больше, но относиться к ним надо как к обычной тренировке ума, без большой самостоятельной ценности. И разумеется, надо и самостоятельно пытаться оценить идею (а для этого - прорабтать её, исследовать её последствия), и выносить на обсуждение с коллегами и старшими товарищами. Пусть первая идея не сработает, зато десятая может вырасти в небольшую заметку, а сотая - и в тему для диссертации.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.02.2015, 13:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: больше соответствует этому разделу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 18:39 


01/03/13
2502
Вот что я имел в виду. На примере атома водорода с зафиксированым ядром в начале системы координат.

Обычный гамильтониан
$\widehat{H}=$\widehat{T}+$\widehat{V}$
где
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z)$
$\widehat{V}=-\frac{Ze^2}{r}$

Теперь запищем изменение импульса через кулоновскую силу, действующую на электрон
$d\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}dt$,
где $|\overrightarrow{F}|=\frac{Ze^2}{r^2}$

Теперь подставим это в оператор кинетической энергии
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z+d\overrightarrow{p})$
И тогда гамильтониан примет вид
$\widehat{H}=$\widehat{T}$

Сразу прощу прощение, что намешал операторные и векторные выражения вместе. Надеюсь Вы поймете, что я имел ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Osmiy в сообщении #981294 писал(а):
Теперь подставим это в оператор кинетической энергии
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z+d\overrightarrow{p})$

Простите, а в чём законность этой операции?

-- 22.02.2015 19:38:30 --

Osmiy в сообщении #981294 писал(а):
Сразу прощу прощение, что намешал операторные и векторные выражения вместе. Надеюсь Вы поймете, что я имел ввиду.

Я надеюсь (хотя и слабо), что вы поймёте, что намешав вместе несовместимые вещи, никак нельзя получить чего-то осмысленного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 20:10 


01/03/13
2502
Munin в сообщении #981317 писал(а):
Простите, а в чём законность этой операции?

Я лишь хотел показать ход мыслей.
Если оператор кинетической энергии записывается через импульс, то почему бы не взять импульс, который зависит не только от текущих координат частицы, но и состояние системы в целом. Как-то так :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Видоизмененный гамильтониан
Сообщение22.02.2015, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Osmiy в сообщении #981342 писал(а):
Я лишь хотел показать ход мыслей.

Если мысли не дают какой-то законной формулы, то это неправильные мысли.

Osmiy в сообщении #981342 писал(а):
Если оператор кинетической энергии записывается через импульс, то почему бы не взять импульс, который зависит не только от текущих координат частицы, но и состояние системы в целом. Как-то так :oops:

Ну вот придумайте, как именно он будет зависеть - появится предмет для разговора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group