2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение21.02.2015, 01:32 


05/09/14
19
Чему равен $\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz$?

У $\tan\left(\frac{1}{z}\right) $ простые полюсы в $z_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k},\quad k\in\mathbb Z$ и неизолированная особенность в $z=0$.

Если $z=e^{it}$, то $dz=ie^{it}\,dt$ и $\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz=\int_0^{2\pi}\tan(e^{-it})ie^{it}\,dt$ – как-то это пытаться посчитать? Или выделять диски с конечным числом особенностей и переходить к пределу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение21.02.2015, 01:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Рассмотрите внешность круга и считайте вычет в бесконечно удаленной точке

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение21.02.2015, 02:45 


05/09/14
19
Red_Herring в сообщении #980679 писал(а):
Рассмотрите внешность круга и считайте вычет в бесконечно удаленной точке

Вычет в бесконечно удаленной точке равен -1.
Сумма всех вычетов равна 0, в любом диске с радиусом в 0 конечное число вычетов, то есть искомый интеграл есть $-2\pi i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение21.02.2015, 02:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dandeliona в сообщении #980685 писал(а):
Сумма всех вычетов равна 0, в любом диске с радиусом в 0 конечное число вычетов,

Э? Ну как же конечное, Вы же особые точки выписали все с самого начала.

Не надо этой теоремой пользоваться, она тут не годится. Просто ориентируйте окружность нужным образом, а требуемый интеграл посчитаете с поправкой на знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение21.02.2015, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
После того, как последуете советам коллег, сделайте еще замену переменной $\zeta=\frac1z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение23.02.2015, 11:27 


05/09/14
19
Спасибо, но все равно непонятно, какие именно утверждения применяются.
Есть где-нибудь разобранный пример, где считается интеграл с бесконечным числом особенностей?

$\int_{|z|=1}\tan\left(\frac{1}{z}\right)\,dz=2\pi i\sum_{n=0}^\infty\text{Res}(z_n)+\text{Res}(0)=2\pi i\text{Res}(\infty)=2\pi i$ неверно ж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с неизолированной особенностью
Сообщение23.02.2015, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Dandeliona
Если Вы ориентируете контур в другую сторону, то в области, которую он ограничивает (внешность круга) будет ровно одна особая точка. Все, никакого бесконечного числа особенностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group