2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:48 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.
Для этого необходимо, чтобы $\int_0 ^{+\infty} -\cos( mx) e^{-\alpha x}$ сходился равномерно. По всем стандартным признакам не получается. Идти через определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
MestnyBomzh в сообщении #979275 писал(а):
Хочу доказать, что $I(\alpha) = \int_0 ^{+ \infty} \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} \cos( mx) dx, \alpha > 0, \beta > 0$ можно дифференциировать по параметру альфа.

Зачем? Так надо? Если надо просто вычислить, воспользуйтесь формулой Фруллани.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 20:59 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Равномерная сходимость будет при $\alpha\ge\varepsilon>0$. Этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 21:22 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Otta
там же косинус мешает. Как от него избавиться?
Vince Diesel
Да, у меня так же получилось. Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 21:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):
там же косинус мешает.

А, сорри, я его не заметила.
MestnyBomzh в сообщении #979301 писал(а):
Я брал мажоранту ($\cos mx \leqslant 1$), а интеграл $\int_0 ^{+\infty} e^{-\alpha x}$ сходится для любого $\alpha > 0$. Но в Вейерштрассе строгая оценка сверху, не содержащая альфу. А эта оценка, все же, оставляет альфу в степени экспоненты

Ничего она не оставляет. Берите $\alpha$ на множестве, указанном Vince Diesel. Там будет равномерная сходимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 22:10 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Otta
Согласен, сделав оценку $\alpha > \varepsilon$ получим сходимость, но не будет ли проблемы при достаточно малом альфа? не зря же в некоторых задачах зачастую пишут: $0 < \alpha_0 < \alpha$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
MestnyBomzh
Дифференцируемость -- локальное свойство. Вам нужно, чтобы для любого положительного $\alpha$ нашелся содержащий его луч $[\varepsilon, +\infty)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциирование по параметру
Сообщение16.02.2015, 23:28 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Что же, такой луч находится для любого альфа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group