2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 19:52 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Делаю задание 1.0.4 из сборника Евграфова по ТФКП. Условие - найти действительную и мнимую части $(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})^3$.

Начал с нахождения абсолютной величины числа в скобках, она равна 1. Далее нахожу аргумент:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &\cos\varphi =\frac{1}{2}& \\
 &\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}& \\
\end{array}
\right.$

$\varphi = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\varphi = (-1)^n (-\frac{\pi}{3})+\pi n$

Как теперь корректно найти отсюда аргумент? На лекции мы рассматривали аргумент в пределах $(-\pi; \pi]$, а находили его каким-то странным образом. У преподавателя своя манера вести лекции его не волнует, как мы конспектируем, он считает, что его рассказов достаточно, но тем не менее я ничего не понял. Похоже, смысл в нахождении $k$:

Цитата:
$\varphi = \frac{\pi}{3}+2\pi k$
$\varphi = ???$
$-\frac{5}{6} < k \leqslant \frac{1}{6}$


Объясните, что за способ нахождения $k$ он нам показал? Как его найти из системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
На тригонометрическом круге проще всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 20:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):
Условие - найти действительную и мнимую части $(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})^3$.
Ну-у, здесь же можно тупо возвести в 3-ю степень, это же не безумно большая степень. Другое дело, если начальник приказал через тригонометрическую форму, тогда да. Я своим студентам советую картинки рисовать с прямоугольными треугольниками. В школьном курсе это называется "решение прямоугольных треугольников" (типа: даны катет и гипотенуза, найти угол, противолежащий катету).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 20:54 
Аватара пользователя


03/11/14

395
У нас преподаватель суровый и очень любит ТФКП, поэтому хочу разобраться в том, как он находит $k$, потому что он может дать любое задание и потребовать решить его так, как ему нравится.
Интервал $(-\pi;\pi]$ ведь охватывает весь тригонометрический круг, правильно понимаю? Не верхний или нижний полукруг?
Почему первое неравенство строгое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nurzery[Rhymes] в сообщении #978844 писал(а):
Почему первое неравенство строгое?
А чтобы дважды об одном и том же не говорить. Поскольку повернуть на $180^\circ$ против часовой стрелки --- это то же самое, что повернуть на $180^\circ$ по часовой стрелке (т.е., по другому говоря, на $-180^\circ$ против часовой стрелки). Поэтому один из концов отрезка включают, а другой нет. Почему именно левый не включён --- дело вкуса и традиций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А почему перед $\frac\pi3$ плюс, а не минус? Синус же отрицательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:18 
Аватара пользователя


03/11/14

395
provincialka в сообщении #978860 писал(а):
А почему перед $\frac\pi3$ плюс, а не минус? Синус же отрицательный.

Где? Если вы про цитату, то там другой пример решался. Я привел его как очень неполный и непонятный образец нахождения $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Теперь поняли? Зачем же вы другой пример приводите!
Давайте-ка, выпишите
    1) общий вид аргумента $\varphi$ числа $\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$
    2) Неравенства, выделяющие главное значение
    3) Решение этих неравенств

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):
Объясните, что за способ нахождения $k$ он нам показал? Как его найти из системы?
Вообще, делать особо нечего. Т. к. главное значение аргумента ограничивается полуинтервалом длины $2\pi$, помещается туда не больше двух корней каждого из уравнений. У косинусного это означает единственное $k_1 = 0$, но неизвестный знак; у синусного $k_2$ может иметь только два значения (для любого случая одинаковые). Их и проверяйте. А неравенство из цитаты какое-то странное.

-- Вс фев 15, 2015 23:30:30 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978822 писал(а):
$\varphi = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\varphi = (-1)^n (-\frac{\pi}{3})+\pi n$
Грубая ошибка. Почему, угадаете с контекстом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:41 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Цитата:
Грубая ошибка. Почему, угадаете с контекстом.

Нет, не угадаю. Я решил тригонометрические уравнения из системы, это их общие решения. Что здесь не так?
В интернете нигде это не объясняется. В школьном курсе такие сложности не нужны. А там, где они возникают, объяснений уже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Nurzery[Rhymes] в сообщении #978874 писал(а):
Я решил тригонометрические уравнения из системы, это их общие решения.

Каждого уравнения, а не системы.

(Оффтоп)

Искать $k$ из неравенств, конечно, маразм: на единичном круге же все видно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 22:02 
Аватара пользователя


03/11/14

395
А почему не работают эти формулы в этом примере?

(Оффтоп)

Изображение


Видно, что число $(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в правом нижнем квадранте. Значит, его аргумент надо искать по формуле $\varphi = \arctg \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$\varphi = \arctg (-\sqrt{3})$

По таблице это $\frac{2\pi}{3}$

Но этот угол не удовлетворяет первой системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Nurzery[Rhymes] в сообщении #978887 писал(а):
Значит, его аргумент надо искать по формуле $\varphi = \arctg \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$
Формулы, формулы... Видно же, что в четвертой четверти лежит угол $-60^\circ$. Что соответствует $-\frac\pi3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 22:14 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Да мне просто непривычно это. На первом курсе я так делал: записал систему и просто вспоминаю таблицу значений триг. функций или подглядываю в нее. Легко выбирается нужный угол из двух вариантов. А тут нас заставляют искать какие-то $k$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример по комплексным числам
Сообщение15.02.2015, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
М-да... у каждого препода свои заморочки. Ну, сделайте так. Нашли $\varphi$ из первого уравнения? Подставьте во второе, для этого достаточно проверить, когда синус отрицателен. Получите решение системы $\varphi =-\frac\pi3+2\pi n$. Дальше пишите двойное неравенство... Только зачем это, когда на картинке все ясно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group