2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая Статистика
Сообщение14.02.2015, 17:12 


11/12/14
148
Здравствуйте. У меня вопрос по интегралу. В общем, в задаче нужно вычислить ковариацию двух случайных величин - первого члена вариационного ряда и последнего. Если в выборке все случайные величины имеют равномерное распределение на отрезке $[0;\theta ]$. А именно :
$\[{\mathop{\rm cov}} ({X_{(1)}},{X_{(n)}}) = E({X_{(1)}}{X_{(n)}}) - E{X_{(1)}}E{X_{(n)}}\]$

Я знаю оба множителя во втором слагаемом из предыдущих задач. И я сверил с ответами, поэтому там ошибок нет. Это такие величины:

$\[E{X_{(1)}} = \frac{\theta }{{n - 1}},E{X_{(n)}} = \frac{{\theta n}}{{n - 1}}\]$

Поэтому остается посчитать первый интеграл. Мат.ожидание произведения двух случайных величин берем по определению:

$\[E({X_{(1)}}{X_{(n)}}) = \int\limits_R {ts{f_{{X_{(1)}},{X_{(n)}}}}(t,s)dtds} \]$

(Извините, но почему-то двойной интеграл не вставляется сюда. Я надеюсь, так можно оставить.)

В общем плотность я тоже знаю из предыдущей задачи, тоже с ответом сверено и верно.

${f_{{X_{(1)}},{X_{(n)}}}}(t,s) = \frac{{n(n - 1){{(s - t)}^{n - 2}}}}{{{\theta ^n}}}$ при $t < s$, и $0$ при обратном неравенстве. Также, т.к. у нас равномерное распределение на заданном выше отрезке, то везде все 0, кроме этого отрезка. Поэтому интегралы по всей оси превращаются в интегралы по этим отрезкам, как минимум. Но еще же надо учитывать как-то условие на саму плотность дополнительное. Но я не понимаю, как здесь это применить ( если нужно вообще).

Ну и интеграл я беру таким образом: Сначала рассматриваю интеграл по одной из переменной, считая другую параметром. То, что в скобке с большой степенью, я обозначаю новой переменной, и, таким образом в итоге у меня получается два хороших интеграла и два нехороших. Нехорошие в том смысле, что снова приходится такую же замену делать и они нудные по вычислению. Вопроса бы не возникло, но эти два нехороших интеграла не сокращаются друг с другом, хотя они очень похожими получились. И, собственно, сам вопрос отсюда и следует: Если предположить, что я ошибся где-то, и они все же сократились, то все остальное красиво переходит в правильный ответ. А если нет, то ответ неправильный и, следовательно, я интеграл не по той области беру. Как быть?

Я не привожу выкладки с вычислением последнего интеграла, т.к. есть вероятность, что они вообще ненужные и вычислять по другой области надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение14.02.2015, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
TripleLucker в сообщении #978298 писал(а):

Я знаю оба множителя во втором слагаемом из предыдущих задач. И я сверил с ответами, поэтому там ошибок нет. Это такие величины:

$\[E{X_{(1)}} = \frac{\theta }{{n - 1}},E{X_{(n)}} = \frac{{\theta n}}{{n - 1}}\]$



Это уже неверно. Ну сами подумайте, $X_{(n)}\leqslant\theta$ почти наверное, а у Вас выходит $EX_{(n)}>\theta$.

Дальше читать почти не стал. Исправляйтесь.

PS Двойной интеграл пишется так $\iint\limits_{\mathbb{R}^2}$. Наведите на формулу и посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение14.02.2015, 18:10 


11/12/14
148
Цитата:
Дальше читать почти не стал. Исправляйтесь.


Ой, я вбил неправильно, не заметил, прошу прощения. Там плюсы вместо минусов в обоих случаях. Но вопрос все равно остается тот же, он связан больше с логическим рассуждением, а не с проблемами в вычислениях. Эти два члена не участвуют в интеграле, в котором проблема. Хотя теперь даже ответ не совпадает.

PS Я просто MathType использую для формул и оттуда копирую сюда, а вот двойной интеграл не захотел копироваться. Сейчас исправлю.
PPS Хм, уже поздно. Но буду знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение14.02.2015, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
TripleLucker в сообщении #978298 писал(а):
Но еще же надо учитывать как-то условие на саму плотность дополнительное. Но я не понимаю, как здесь это применить ( если нужно вообще).


Область интегрирования становится треугольной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая Статистика
Сообщение14.02.2015, 18:34 


11/12/14
148
Господи, написал сам про это, а не понял, как использовать. Ну и глупый же вопрос. Все получилось, спасибо за ответ! Зря только голову ломал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group