2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограниченность аналитической функции
Сообщение14.02.2015, 03:46 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемые форумчане!

Пусть у нас есть замкнутый контур $C$ ограничивающий область $D$ в комплексной плоскости переменной $k$, и мы рассматриваем аналитические функции $f(k;t)$ внутри $D$, непрерывные вплоть до границы, зависящие от параметра $t$.

Пусть $\|f(.;t)\|_{L_2(C)}<K,$ с константой $K$ не зависящей от $t$. Что можно сказать о $\max\limits_{k\in C}|f(k;t)|?$ Можно ли его оценить так, чтобы эта оценка не зависела от $t$, либо можно найти такую последовательность $f(k;t)$, что максимум модуля будет неограниченно расти?


1) Я попробовал посмотреть на формулу Коши
\begin{equation}\label{formula_Cauchy}f(k)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-k}.\end{equation}
Вблизи контура, однако, из этой формулы оценку на $|f(z)|$ вывести нельзя, поскольку интеграл становится сингулярным.

Возьмем предел когда точка $k$ стремится к точке $z$ на границе. Тогда $$f(z)=\frac12f(z)+\frac{1}{2\pi i}v.p.\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-z},$$ и $$f(z)=\frac{1}{\pi i}v.p.\int\limits_{C}\frac{f(s) ds}{s-z}=(Hf)(z).$$

Справа стоит преобразование Гильберта функции из $L_2(C)$. Ввиду ограниченности преобразования Гильберта в классе $L_2(C)\to L_2(C)$, норма этого выражения в классе $L^2(C)$оценивается нормой $\|f\|_{L_2(C)},$ но похоже что это ничего не дает для модуля $|f(z)|.$

2) Рассмотрим частный случай когда $C$ -- это едининая окружность, а $D$ - внутренность единичного круга. В этом случае функцию $f(k;t)$ можно представить как
$f(k;t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}c_j(t)z^j.$
Для равномерной нормы и для нормы $L_2$ имеем
$$\|f(.,t)\|_{L^{\infty}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|,\qquad \|f(.,t)\|_{L^{2}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|^2.$$

Может ли быть так, что $$\|f(.,t)\|_{L^{2}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|^2<K,\qquad \|f\|_{L^{\infty}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}|c_j(t)|\to\infty \textrm{ при } t\to\infty?$$

3) (Как переписать формулу (1) в виде НЕсингулярного интеграла? Например для верхней полуплоскости это будет интеграл Фурье по положительной полуоси от обратного преобразования Фурье. А для круга?)






P.S. Надо было написать чтобы понять что конечно равномерной ограниченности в такой общей постановке не будет. Например, рассматриваем такую последовательность коэффициентов:
$$t=1:\quad c(1)={1,0,0,...},$$
$$t=2:\quad c(2)={1,\frac12,0,...},$$
$$\cdot$$
$$t=N:\quad c(N)={1,\frac12,\cdot,\frac1N,\cdot},$$
$$\cdot$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение14.02.2015, 08:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$\ln(k+it), \ \operatorname{Im}k\geqslant0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение14.02.2015, 08:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Возьмите любую последовательность положительных гладких функций $f_n$ на контуре $C$, так, чтобы их нормы в $L^2$ были ограничены, а супремум-нормы стремились к бесконечности. По функциям $\ln f_n$ восстановите аналитические непрерывные вплоть до границы функции $g_n$, действительная часть которых на $C$ совпадает с $\ln f_n$. Тогда функции $F_n=e^{g_n}$ будут аналитическими непрерывными вплоть до границы, и на $C$ будет $|F_n|=f_n$

Короче, для любой (гладкой) положительной функции на границе найдется аналитическая непрерывная в замкнутой области функция, модуль которой на границе совпадает с заданной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение16.02.2015, 14:05 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемые ewert и Padawan,
спасибо большое за Ваши ответы.

Я не совсем понял пример
ewert в сообщении #978135 писал(а):
$\ln(k+it), \ \operatorname{Im}k\geqslant0$

Тут же нет равномерной ограниченности в $L_2:$
Имеем $$\ln(k+i t)=\ln(k_1+i (k_2+t))=\frac12\ln(k_1^2+(k_2+t)^2)+i \arg(k_1+i(k_2+t)),$$ где $k_1=\operatorname{Re} k, k_2=\operatorname{Im} k,$
Тогда для модулей получаем $$|\ln(k_1+i(k_2+t))|^2=\frac14\ln^2(k_1^2+(k_2+t)^2)+\arg^2(k_1+i(k_2+t)),$
и поскольку $\arg z\in(0,2\pi),$$ то
$|\ln(k_1+i(k_2+t))|^2\geq\frac14\ln^2(k_1^2+(k_2+t)^2).$
Теперь конечно нужно уточнить контур. Вещественная прямая не подходит, так как выражение не интегрируемо. Но даже если взять какой-то конечный контур, то видно что функция не будет равномерно ограниченной в $L_2$ по параметру $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение16.02.2015, 14:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Asalex в сообщении #979077 писал(а):
где $k_1=\operatorname{Re} k, k_2=\operatorname{Im} k,$

Вы что-то совершенно ненужное пишете. Интеграл же нужен по границе, т.е. по вещественной оси (естественно, по её отрезку вокруг нуля), а там $\ln(k+it)=\frac12\ln(k^2+t^2)+i\arg(k+it)$. Второе слагаемое просто ограничено, а логарифм в любой степени прекрасно интегрируется даже при предельном значении параметра $t=0$.

Не нравятся логарифмы -- возьмите просто функции $\frac1{k+it}$, для которых всё считается явно. У них, правда, нормы не ограничены, однако растут при $t\to0$ гораздо медленнее, чем максимумы модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение16.02.2015, 15:11 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Конкретный пример по уже сказанному: $f_n(z)=\sum_{k=1}^n \frac{z^k}k$. Норма в $L_2$ равномерно ограничена, поскольку $f_n$ мажорируется функцией $\ln(1-|z|)$. А последовательность $f_n(1)$ неограниченно растет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность аналитической функции
Сообщение16.02.2015, 15:36 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Уважаемые ewert и Vince Diesel,

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group