2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по ЛВП (упрощение доказательства)
Сообщение09.02.2015, 12:37 


26/09/14
31
Прошу сообщество помочь упростить решение следующей задачи (точнее, подзадачи, возникающей в другом доказательстве).

Пусть $X$ - ЛВП несчетной размерности с базисом Гамеля $\{e_i: i \in I\}$. Положим $X^+ := \{x \in X : \forall i \in I\;x(i) \ge 0\}$, $C := \{x \in X : \sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} \ge 1\}$, $D := \{x \in X : \sum \limits_{i \in I} x(i) \le 1\}$, $B := X^+ \cap C \cap D$. Нужно доказать, что $0 \in cl B$.

Доказательство следующее. Возьмем произвольную окрестность нуля $U$ и проверим, что $U \cap B \ne \varnothing$.

Положим $I_n := \{i \in I: \frac{1}{n} e_i \in U\}$. Так как $U$ - поглощающее множество, то $\forall i \in I\;\exists n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} e_i \in U$. Поэтому $\bigcup \limits_{n=1}^\infty I_n = I$.

Так как $|I|$ несчетно, то $\exists n \in \mathbb{N}: |I_n| = \infty$. Зафиксируем это $n$ и возьмем какое-нибудь $J \subset I_n: |J| = n$. Положим $x := \frac{1}{n^2} \sum \limits_{j \in J} e_j$.

1) Поскольку $X$ - ЛВП, можно считать, что $U$ выпукло. Тогда $x = \frac{1}{n} \sum \limits_{j \in J} \frac{1}{n} e_j \in U$ как выпуклая комбинация элементов $U$.

2) По определению $x \in X^+$.

3) Так как $\sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} = \frac{1}{n} \sum \limits_{j \in J} 1 = \frac{1}{n} \cdot n = 1 \ge 1$, то $x \in C$.

4) Так как $\sum \limits_{i \in I} x(i) = \frac{1}{n^2} \sum \limits_{j \in J} 1 = \frac{1}{n^2} \cdot n = \frac{1}{n} \le 1$, то $x \in D$.

Таким образом, $x \in U \cap X^+ \cap C \cap D = U \cap B$.

В научной статье предпочтительно сослаться на уже доказанные факты. А именно, известно, что в случае несчетной размерности пространства сильнейшая векторная топология на нем не является локально выпуклой. Это следует из того, что множество $\{x \in X : \sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} < 1\}$ (в наших обозначениях $X \setminus C$) является окрестностью нуля в сильнейшей векторной топологии, но не содержит ни одного выпуклого поглощающего множества.

Идея упрощения доказательства следующая: раз $X \setminus C$ не является окрестностью нуля (в топологии $X$), то любая окрестность нуля будет пересекаться с $C$, то есть $0 \in cl C$. Можно ли каким-то образом получить отсюда, что $0 \in cl B$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по ЛВП (упрощение доказательства)
Сообщение09.02.2015, 18:38 


09/02/15
37
Вроде легко получить $0 \in cl (C \cap D)$ (т.к. $D$ - выпуклое поглощающее). Как с $X^+$ быть непонятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group