2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интегрирование параметрической функции
Сообщение12.02.2015, 17:18 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Слева одномерный. Справа какая-то его параметризация. Видимо, надо определять размерность дельта функции так: если интегрирование идет по $n$-мерному объему, а носитель дельта-функции имеет размерность $k$, то $[\delta]=\text{м}^{k-n}$. Если носитель дельта-функци - точка, то получится $\text{м}^{-n}$, а вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование параметрической функции
Сообщение13.02.2015, 12:58 


05/02/15
11
Vince Diesel в сообщении #977321 писал(а):
Слева одномерный. Справа какая-то его параметризация. Видимо, надо определять размерность дельта функции так: если интегрирование идет по $n$-мерному объему, а носитель дельта-функции имеет размерность $k$, то $[\delta]=\text{м}^{k-n}$. Если носитель дельта-функци - точка, то получится $\text{м}^{-n}$, а вообще нет.

если считать слева интеграл одномерным, то все правильно.
Вы пишете , что решение интеграла $I = {\left| {\int {{d^3}} {\text{s}}\delta \left( {{\text{s}} - {\text{S}}\left( t \right)} \right){\text{X}}\left( {\text{s}} \right)} \right|^2}$ является $|\int_\Gamma X\,dl|^2$ .
Я говорю о том, что решением трехмерного интеграла должен быть трехмерный же интеграл.
То есть интеграла по $dl$ должен осуществляться переход к параметрическому виду в соответствии с размерностью пространства, скажем так. для одномерного случая , $\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$ , все отлично. спрашивается, как быть с трехмерным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование параметрической функции
Сообщение13.02.2015, 15:53 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Как написано выше. В данном случае $n=3$, размерность кривой $k=1$. Чтобы было согласование, надо считать, что размерность дельта-функции с носителем на кривой равна $\text{м}^{-2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование параметрической функции
Сообщение13.02.2015, 16:41 


05/02/15
11
Vince Diesel в сообщении #977718 писал(а):
Как написано выше. В данном случае $n=3$, размерность кривой $k=1$. Чтобы было согласование, надо считать, что размерность дельта-функции с носителем на кривой равна $\text{м}^{-2}$.

размерность пространственной кривой никак не может быть 1.
выбор размерности дельта-функции идет изначально из размерности пространства.
Вы же находите ответ на вопрос, притягивая вопрос под ответ.
У нас в дельта-функции - векторы. Это уже никак не может быть размерностью 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование параметрической функции
Сообщение13.02.2015, 17:19 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):
размерность пространственной кривой никак не может быть 1.

Размерность гладкой кривой равна елинице. Вот это
matthewmatt в сообщении #977654 писал(а):
$\int\limits_a^b {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\dot x}^2}\left( t \right) + {{\dot y}^2}\left( t \right) + {{\dot z}^2}\left( t \right)} dt}$

не интеграл по одномерной кривой?
matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):
выбор размерности дельта-функции идет изначально из размерности пространства.

Ну, если так считать, то и будут противоречия с размерностью.
matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):
Вы же находите ответ на вопрос, притягивая вопрос под ответ.

Не вопрос под ответ, а как изменить подсчеты, чтобы получить нужный вам ответ. А иначе вы берете какую-то фиксированную размерность дельта-функции, а потом спрашиваете, почему размерность не сходится. С чего вы тогда считаете, что размерность должна сойтись?
matthewmatt в сообщении #977753 писал(а):
У нас в дельта-функции - векторы. Это уже никак не может быть размерностью 1.

Что "это", аргумент имеет три компоненты? Вот возьмем кривую $X(t)=(t,t,0)$. Это будет координатная ось $Ox_3$. Она одномерная или нет? Дельта функция с этим носителем будет иметь вид $\delta(x-X(t))=\delta(x_1)\delta(x_2)1(x_3)$ и?...

Вот кстати, наглядная иллюстрация, что если для функции одной переменной $[\delta]=\text{м}^{-1}$, то для кривой в $\mathbb R^3$ надо считать $[\delta]=\text{м}^{-2}$, если хотеть, чтобы интеграл по объему выдавал нужную размерность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group