2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Сизиф
Сообщение02.02.2015, 19:16 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #972605 писал(а):
которое сокращается со вкладом метрики...

в каком смысле сокращается? сформулируйте свое утверждение так, чтоб его можно было проверить

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение02.02.2015, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Проверьте сразу сообщение post972507.html#p972507 , это куда интересней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение02.02.2015, 20:17 


10/02/11
6786
Поведение геодезических в задаче о Сизифе можеет качественно отличаться от поведения стандартных (в смысле метрики ,индуцированной из $\mathbb{R}^3$) геодезических на той же поверхности. Из общих соображений, в этом удивительного ничего нет, но при физической интерпретации, в данной конкретной задаче, это может быть любопытным.
Так, например, рассмотриим поверхность, которая в цилиндрических координатах $(z,r,\psi)$ задана уравнением $z=\frac{1}{1+r^8}$. В стандартной метрике на этой поверхности нет замкнутых геодезических, а в метрике Сизифа (cила тяжести направлена вдоль оси $z$) -- сколько угодно. Причем имеются как устойчивые так и неустойчивые замкнутые траектории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение02.02.2015, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #972658 писал(а):
Поведение геодезических в задаче о Сизифе можеет качественно отличаться от поведения стандартных (в смысле метрики ,индуцированной из $\mathbb{R}^3$) геодезических на той же поверхности.

Это да. Но речь-то о геодезических на плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение03.02.2015, 11:00 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Похоже, К.Ф. Гаусс уже всё это знал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 14:24 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Кстати. В XXI-м веке Сизиф уже возит свой камень хоть и вручную, но - на тележке. По отличному шоссе..да-с.
Пункты А и В больше уже не меняются. Вопрос тот же: как провести это шоссе, чтобы минимизировать потери на трение.
Решение принципиально иное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 14:34 


10/02/11
6786
загадками говорите

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 15:25 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну хорошо. Шоссе -лента, поперечная образующая которой везде горизонтальна. Шириной ленты пренебрегаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 15:48 


10/02/11
6786
какова природа трения? сухое вязкое какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 15:57 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Закон такой же как обычно. Сухое трение, $F_{fric}=kN$, где $N$- нормальная составляющая силы тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
На самом деле весь анализ выше предполагает что склоны достаточно пологи. Если шар или колесо само может катиться вниз то у Сизифа нет возможности аккумулировать высвобожденную энергию, т.е. работа на данном участке будет нулевая, а не отрицательная

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 16:30 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #972412 писал(а):
: $$\int_A^BQ_idx^i=-km\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds+m\int_A^B\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)dx^i$$ ($s$ -- натуральный параметр на кривой)
Последнее слагаемое пропорционально высоте между точками $A$ и $B$, значит оно не зависит от кривой, и поэтому оно из задачи выбрасывается

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Oleg Zubelevich в сообщении #973552 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #972412 писал(а):
:
$$\int_A^BQ_idx^i=-km\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds+m\int_A^B\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)dx^i$$ ($s$ -- натуральный параметр на кривой)
Последнее слагаемое пропорционально высоте между точками $A$ и $B$, значит оно не зависит от кривой, и поэтому оно из задачи выбрасывается


А мне кажется что следует записать
$$
\int_A^B\biggl( km (\overline g,\overline n)|-m\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)\frac{dx^i}{ds}\biggr)_+ ds$$
(я знак сменил, чтобы работу Сизифа считать), где $K_+=\max (K,0)$. Ну и такой наивный аргумент: допустим есть гора $z=N(1-x^2-y^2)_+$ и нашему героя следует перетащится из $(-1,0,0)$ в $(1,0,0)$. Тогда экстремалью будет парабола (проектируемая на $xy$ как отрезок от $(-1,0)$ до $(1,0)$) но при достаточно большом $N$ очевидно полуокружности $z=0$, $x^2+y^2=1$, $\pm y>0$ будут гораздо выгоднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 17:19 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #972507 писал(а):
Прямая линия
Проекция геодезической на рельефе на плоскость $(x_{1},x_{2})$ будет прямой линией, так если мы рассмотрим локальную окрестность рельефа, то работа на бесконечно малом перемещении будет пропорциональна проекции этого перемещения на плоскость $(x_{1},x_{2})$
Sapiety sat, господа

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано, но если тут написано, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость есть прямая, то это неверно. См. пример выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Сизиф
Сообщение04.02.2015, 17:28 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #973585 писал(а):
я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано, но если тут написано, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость есть прямая, то это неверно. См. пример выше

Я честно говоря не понял ваш пример, но если из него следует, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость не есть прямая, то это неверно, см мой пример выше

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group