2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 14:42 


14/01/12
22
Как грамотно ответить на вопрос: Почему в начале решения мы разделяем переменных по такому принципу:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
А когда пишем ответ, то уже суммируем найденные решения:
$U(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}$X(x)T(t)
Т.е. почему возникает знак суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13156
с Территории
Да.

-- менее минуты назад --

Какой вопрос - такой ответ. Почему мы это делаем? Потому что можем. Вот выкладки, туда-сюда, вот видите: если это и это - решения одномерных уравнений, то произведение - решение большого уравнения. А почему складываем? Тоже потому что можем. Уравнение (где оно, кстати) линейное - значит, решения можно складывать, и будут получаться тоже решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
Вопрос специально сформулирован так, чтобы отсеять тех студентов, которые бездумно списывают с доски и бездумно повторяют за преподавателем. Шик!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 19:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31198
_PrizraK_ в сообщении #971689 писал(а):
Почему в начале решения мы разделяем переменных по такому принципу:
$U(x,t)=X(x)T(t)$

А просто наобум. Это давно устаревший (и уже неприличный) вариант метода Фурье. Пользуйте то же самое, но в варианте разложения по собственным функциям. Там хоть сознательно; не говоря уж о том, что общЕе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
На самом деле, логика такая.
1. Уравнение линейное. Значит, любое решение выражается через базис решений.

    (Оффтоп)

    (Для нелинейных уравнений метод вообще не годится, и вообще их решать намного труднее.)
2. Перейдём от задачи нахождения любого решения к задаче нахождения каких-то базисных решений.
    3. Предположим, что базисное решение раскладывается в произведение: $U(x,t)=X(x)\,T(t).$

      (Оффтоп)

      (Внимание, если предположение не работает - придётся перейти к другому методу решения.)
    4. Обычно это разложение требует какого-то дополнительного параметра, общего для $X(x)$ и $T(t)$: $U(x,t)=X_n(x)\,T_n(t).$
    5. Решаем отдельно уравнения на $X(x)$ и $T(t).$ Получаем множества $X_n(x)$ и $T_n(t).$
    6. Замечаем, что параметр должен быть равен для обоих множителей. Таким образом, базисные решения имеют вид $U_n(x,t)=X_n(x)\,T_n(t).$
7. Собираем из базисных решений произвольное решение: $U(x,t)=\sum\limits_n c_n U_n(x,t)\quad=\sum\limits_n c_n X_n(x)\,T_n(t).$
8. Можем заняться ещё каким-нибудь анализом смысла найденного решения, глядя на базисные решения.

-- 31.01.2015 21:00:35 --

Пусть вначале мы имеем однородное уравнение $DU(x,t)=0,$ где $D$ - некий линейный дифференциальный оператор. Пусть этот оператор удаётся представить в виде $D=D_x+D_t,$ где $D_x$ и $D_t$ - дифференциальные операторы, действующие только на переменную $x$ и переменную $t$ соответственно. Тогда $DU(x,t)=D_x U(x,t)+D_t U(x,t)=0.$

Рассматривая (как кандидат в базисное решение) $U(x,t)$ вида $X(x)\,T(t),$ получаем
$$D\bigl(X(x)\,T(t)\bigr)=\bigl(D_x X(x)\bigr)\,T(t)+X(x)\,\bigl(D_t T(t)\bigr)=0.$$ Если теперь $X(x)$ и $T(t)$ являются решениями задач на собственные значения
$$D_x X_m(x)=\lambda_m X_m(x),\qquad D_t T_n(t)=\lambda_n T_n(t),$$ то исходное уравнение принимает вид
$$D\bigl(X(x)T(t)\bigr)=\lambda_m X_m(x)\,T_n(t)+\lambda_n X(x)\,T(t)=0.$$ Осталось подобрать такие пары $m$ и $n,$ такие что $\lambda_m=-\lambda_n.$

Вот как доказывать, что полученные решения образуют полный базис, я не знаю.

Обобщение на произвольное число переменных отсюда видно прозрачно:
$$\begin{gathered}D=D_1+\ldots+D_k,\\U(x_1,\ldots,x_k)=X_1(x_1)\,\ldots\,X_k(x_k),\\\forall i\,\,\exists\{(n_i,\lambda_{n_i})\}\quad D_i X_{i(n_i)}(x_i)=\lambda_{n_i}X_{i(n_i)}(x_i),\\\lambda_{n_1}+\ldots+\lambda_{n_k}=0.\end{gathered}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод разделения переменных
Сообщение31.01.2015, 21:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31198

(Оффтоп)

Munin в сообщении #971927 писал(а):
Значит, любое решение выражается через базис решений.

Не значит. Не факт, что тот базис даже не то что существует, но даже -- что это словосочетание вообще имеет хоть какой-то смысл. Применительно к данной задачке.

Munin в сообщении #971927 писал(а):
3. Предположим, что базисное решение раскладывается в произведение: $U(x,t)=X(x)\,T(t).$

Не предположим. Во-первых, "базисное" вообще никогда и ни разу никуда не раскладывается. А во-вторых -- это попросту абсолютный бред.

Вы всё ж думайте хоть иногда, чего постите.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group