2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Vince Diesel в сообщении #971622 писал(а):
Тождественно равный нулю, правда

Позволю себе не согласиться. $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})f(x_0)dxdx_0=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x_0)f(x_0)dx_0=f(0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon
А вот когда пределы начинаете расставлять, то и вправду второй закорючки не хватает...

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:14 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Так разные функции. То одной переменной при фиксированном $x_0$, а это свертка в смысле обобщенных функций $\delta*\delta=\delta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:27 


10/02/11
6786
Есть такая классическая хохма про умножение обобщенных функций. Мы знаем, что $\frac{1}{x}\cdot x=1$ и $x\cdot\delta(x)=0$ оба тождества в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Вооружившись этими двумя равенствами, находим
$$\delta(x)=\Big(\frac{1}{x}\cdot x \Big)\cdot\delta(x)=\frac{1}{x}\cdot (x\cdot\delta(x))=0$$ в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:28 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
amon, отличие в том, что Vince Diesel говорит именно о произведении, в то время как у вас получается не произведение, а свёртка. Чтобы понять различие, полагаю, нужно отказаться от записи с интегралами (которая делает вид, что обобщённая функция - это просто необычная функция) в пользу более однозначной, принятой в математических текстах.

-- 31.01.2015, 13:34 --

Я слышал, что если отказаться от коммутативности умножения обобщённых функций, то можно дать определение произведению обобщённых функций, причём ассоциативность сохраняется. Не знаю точно - правда или нет. Если правда, то не знаю, почему этим не пользуются те же физики - ведь бывают случаи, когда вылезает квадрат дельта-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Я тут уже где-то писал про математиков с тапками. Так вот, рискуя нарваться на очередную порцию. Меня учили, что обобщенная функция это функционал в.. над... э.. ну, в общем, множеством достаточно хороших (по крайней мере, ограниченных) функций. Поэтому функция $\frac{1}{x}$ туда не входит. Запись в виде интеграла - символическая, но при этом я не уловил как Vince Diesel определяет действие функционала согласованным со стандартным определением $\delta$-функции образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:46 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
amon в сообщении #971651 писал(а):
Поэтому функция $\frac{1}{x}$ туда не входит.

(1/x)

Я бы сказал, что она туда входит аж три раза - как $\dfrac 1 {x \pm i0}$ и $P \frac{1}{x}.$
В посте Oleg Zubelevich под $\frac{1}{x}$ подразумевалась $P \frac{1}{x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #971653 писал(а):
подразумевалась $P \frac{1}{x}$.

А тогда все хорошо - действительно ноль. Стоп. Нет. Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:56 
Заслуженный участник


02/08/11
6874

(deleted)

amon в сообщении #971656 писал(а):
Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.
А, да, вообще $x$ - недостаточно хорошая функция. Тогда я тоже не знаю как расшифровать послание Oleg Zubelevich.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 12:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
amon в сообщении #971656 писал(а):
Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.

Почему не равна? равна.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 13:03 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Всё-таки действительно $x \cdot P \frac 1 x = 1$, хотя я и не могу сообразить как же так получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #971657 писал(а):
$x$ - недостаточно хорошая функция.

С $x$ - то, по-моему, все в порядке, но $xP \frac{1}{x}$ это функционал, и не для всех хороших $\varphi$ верно $\int xP \frac{1}{x}\varphi(x)dx=\int \varphi(x)dx.$ Или для всех? Не соображу сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 13:06 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
amon, я понял - я на какое-то мгновение начал думать о $x \cdot P \frac 1 x$ как о $(P \frac 1 x, x)$, вот и не получалась единица. Может, Вы тоже?

-- 31.01.2015, 14:13 --

amon в сообщении #971661 писал(а):
Или для всех?
Для всех конечно. Значок главного значения выбрасывает точку $x=0$ из области интегрирования, а значит под интегралом $x \frac 1 x = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: дельта-функция
Сообщение31.01.2015, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Да, 1. Математики, как всегда, правы. Запрет на умножение обобщенных функций без бубна не обойти, да и с бубном тяжело.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group