2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 10:12 


22/12/11
9
Задача. Необходимо вычислить следующий интеграл:

$$\oint\limits_{\gamma}^{}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz, \gamma :\left\lvert z-i \right\rvert = 2 $$

Вычетами посльзоваться, естественно, нельзя :lol:
На функцию вида $u(x,y)+iv(x,y)$ он разбивается плохо, интегральная формула Коши тоже выглядит бесперспективно. Какие еще могут быть варианты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 11:56 
Заслуженный участник


03/01/09
1126
москва
Можно разбить область, ограниченную контуром интегрирования, на две области так, чтобы к каждой из них можно было применить формулу Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 21:48 


22/12/11
9
Получилось примерно следующее:

Преобразуем знаменатель подынтегральной функции:
$$\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}=
\frac{\ch(iz)}{2z^2-iz-2i}$$
Найдем корни знаменателя:
$$z_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{i±\sqrt{-1+16i}}{4}$$
Проверим, какие корни попадают в область, ограниченную окружностью:
$$
4|z_{1,2}-i|=
|i±\sqrt{-1+16i}-4i|=
|-3i±\sqrt{-1+16i}|\le
|-3i|+|\sqrt{-1+16i}|=
$$$$
= 3+|\sqrt{\sqrt{16^2+1}}(\cos{\varphi/2}+i \sin{\varphi/2})|=
3+\sqrt[4]{257}<3+5=
8
$$$$
|z_{1,2}-i|<8/4=2$$
Следовательно, оба корня лежат внутри области, ограниченной контуром интегрирования.
$$
\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}=
\frac{\ch(iz)}{(z-z_1)(z-z_2)}$$

Подынтегральная функция аналитична в области, ограниченной контуром интегрирования за исключением окрестностей особых точек. Исключив особые точки, мы получим многосвязную область, к которой можно применить теорему Коши для многосвязной области:

$$\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz=
\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz=
\oint_{\gamma_1}\frac{\frac{\ch(iz)}{z-z_2}}{z-z_1}dz+
\oint_{\gamma_2}\frac{\frac{\ch(iz)}{z-z_1}}{z-z_2}dz
$$

Используя интегральную формулу Коши для интегралов по окрестностям особых точек, получим:

$$\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz=
I_1+I_2=
2\pi i \frac{\ch(iz_1)}{z_1-z_2}+2\pi i \frac{\ch(iz_2)}{z_2-z_1} =
2\pi i \frac{\cos(z_1 )-\cos(z_2)}{z_1-z_2}$$

$$
\cos(z_1 )-\cos(z_2 )=2\sin(\frac{z_1+z_2}{2})\sin(\frac{z_1-z_2}{2})  
$$$$
z_1+z_2=\frac{i+\sqrt{-1+16i}}{4}+\frac{i-\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{2i}{4}=\frac{i}{2}
$$$$
z_1-z_2=\frac{i+\sqrt{-1+16i}}{4}-\frac{i-\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{2\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{A}{2}
$$$$
\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz=
\frac{2\pi i}{i/2}2\sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4})=
8\pi \sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4})
$$$$
\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz=
8\pi \sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4}),  A=\sqrt{-1+16i}
$$

Кто может сказать, есть ли в этом решении явные ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 21:52 
Заслуженный участник


11/05/08
30866
endemic в сообщении #969826 писал(а):
Вычетами посльзоваться, естественно, нельзя :lol:

mihiv в сообщении #969904 писал(а):
Можно разбить область, ограниченную контуром интегрирования, на две области так, чтобы к каждой из них можно было применить формулу Коши.

Второе противоречит первому. Можно, конечно, запретить себе называть чорта по имени; однако же чортом-то он от этого не перестанет быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
Непонятно, зачем Вы все-таки устраиваете вычеты. Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши. Если бы была одна особая точка -- интегрировали бы как есть, по границе области. А раз их две, надо разрезать область на две части, отрезком прямой, к примеру, и применять формулу Коши к каждой половине, потом интегралы сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
30866
ex-math в сообщении #970255 писал(а):
Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши.

Это ровно и есть (в смысле суть) вычеты. Как минимум из-за косинуса взять явно интеграл не выйдет -- во всяком случае, за вменяемое время. Бессмыслица какая-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение28.01.2015, 23:02 


22/12/11
9
Да, фактически я использовал вычеты. Просто это задание относится к тому этапу, где про вычеты еще неизвестно.

ewert в сообщении #970265 писал(а):
Как минимум из-за косинуса взять явно интеграл не выйдет -- во всяком случае, за вменяемое время. Бессмыслица какая-то.


Я предполагаю, что в условии опечатка, потому что задачи других вариантов выглядят примерно так :

$$
\oint_{\gamma}\frac{\sin(\frac{\pi}{4}z)}{(z-1)(z-3)^2}dz, \gamma: |z-3|=1
$$

Это чуть ли не канонический пример интегральной формулы Коши

-- 29.01.2015, 00:14 --

ex-math в сообщении #970255 писал(а):
Непонятно, зачем Вы все-таки устраиваете вычеты. Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши. Если бы была одна особая точка -- интегрировали бы как есть, по границе области. А раз их две, надо разрезать область на две части, отрезком прямой, к примеру, и применять формулу Коши к каждой половине, потом интегралы сложить.


Разбивая на 2 области получаем те же самые 2 интеграла. Мне решение с помощью теоремы Коши для многосвязной области кажется более красивым. Кроме того, чтобы разрезать область интегрирования на 2 части, надо знать хотя бы примерные координаты $i \pm \sqrt{-1+16i}$. Решение и без того достаточно громоздкое, и загромождать его поиском "крайне некрасивых" чисел (я посчитал в wolframalpha) было бы нежелательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение29.01.2015, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
Ясно, что мнимая часть $\sqrt{-1+16i}$ положительна (главная ветвь корня), так что подойдет горизонтальный отрезок, проходящий через $i$.
Если речь идет о том, чтобы решение минимально походило на вычисление вычета, конечно нужно применять интегральную формулу Коши к области (возможно разрезанной), а не описывать малые окружности вокруг особых точек.
ewert
Я Вам даже больше скажу: равенство нулю интеграла по замкнутому контуру -- тоже уже вычеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение29.01.2015, 10:34 
Заслуженный участник


11/05/08
30866
endemic в сообщении #970267 писал(а):
Я предполагаю, что в условии опечатка,

Или в условии, или у Вас -- безусловно опечатка. Выражений типа $z^2+(z-i)z-2i$ не бывает. Зато вполне бывает $z^2+(2-i)z-2i$, и корни очень простые.

ex-math в сообщении #970377 писал(а):
равенство нулю интеграла по замкнутому контуру -- тоже уже вычеты.

Нет, это -- принципиально до.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение29.01.2015, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
Ну как же, ТС нам продемонстрировал, как из интегральной теоремы Коши в одно действие свести задачу к интегралам по малым окружностям, охватывающим особенности (что, собственно, и есть вычеты).

Опечатка, может и есть, но задача и в таком виде решаемая. А то, что ТС повозился с ней, принесет ему только пользу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплесный интеграл по контуру
Сообщение29.01.2015, 11:58 
Заслуженный участник


03/01/09
1126
москва
endemic в сообщении #970267 писал(а):
Кроме того, чтобы разрезать область интегрирования на 2 части, надо знать хотя бы примерные координаты $i \pm \sqrt{-1+16i}$.

В любом случае нужно проверить, находятся ли нули знаменателя в области, ограниченной контуром интегрирования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group