2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 00:22 


20/03/11
81
Дана такая система:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 2^{2014} \cdot a + 2^{14} \cdot b + 4 \cdot c + 2 \cdot d + e =5 \\
 5^{2014} \cdot a + 5^{14} \cdot b + 25 \cdot c + 5 \cdot d + e=7 \\
\end{array}
\right.$
Доказать что у неё нет целых решений. Не знаю как решать, пробовал заменять коэффициенты на их остатки по модулю сначала 2, потом 7, но в обоих случаях решение существовало. Какие ещё способы есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13167
с Территории
Есть ещё способ тупо решить её и посмотреть, что будет. Ну, знаете, как решают. Как если бы все числа были не безумные, а решение было. Может, тогда станет ясно, какие есть на свете числа, кроме 2 и 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 00:36 


20/03/11
81
Там же пять неизвестных, а уравнения всего два. Её просто так не решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13167
с Территории
Ну тогда вот Вам и ответ. Если вообще не решить, значит, никаких решений нет, а не только целых. Годится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 00:51 


20/03/11
81
Вроде бы получилось. Если заменить все коэффициенты на их остатки по модулю пять, то в первом уравнении получается что сумма чётных чисел равна нечётному числу. Фух... :mrgreen:

(Оффтоп)

можете мне объяснить, пожалуйста, почему при разных модулях получается разный результат? Т.е. почему в каких-то полях остатков эта система имеет решение, а в каких-то нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13167
с Территории
Если заменить всё на остатки по модулю пять, то становится правдой равенство 5=0, делающее бессмысленным противопоставление чётных и нечётных чисел. Если это я слишком сложно сказал, попробуйте применить в точности тот же самый метод к решению в целых числах уравнения $2x+2y+1=5$. Замените все коэффициенты на остатки по модулю пять. Замените их, да.

-- менее минуты назад --

Rock`n`Rolla в сообщении #969727 писал(а):
можете мне объяснить, пожалуйста, почему при разных модулях получается разный результат?
Потому что там на самом деле разный результат. По-моему, это достаточно базисный факт, не требующий обоснований. Ну в самом деле, почему при делении 60 на разные числа получается разный результат: иной раз делится, а иной раз, говорят, нет!?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 01:48 
Заслуженный участник


04/03/09
812
Rock`n`Rolla в сообщении #969715 писал(а):
пробовал заменять коэффициенты на их остатки по модулю сначала 2, потом 7, но в обоих случаях решение существовало

Ну а какие-нибудь другие маленькие модули попробовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование целого решения у системы уравнений
Сообщение28.01.2015, 02:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12085
Кронштадт
12d3 в сообщении #969739 писал(а):
Ну а какие-нибудь другие маленькие модули попробовать?
А если быть проще? ИСН дал хороший совет:
ИСН в сообщении #969717 писал(а):
Есть ещё способ тупо решить её и посмотреть, что будет.
Как обычно решают уравнения? Ну вычтите, например, первое из второго. Получившееся ни на какие мысли не наводит?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group