2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни алгебраического / трансцендентного уравнения
Сообщение28.01.2015, 00:14 


17/01/10
8
Помогите разобраться в азах, понять как что правильно называется, дайте ссылки на курсы или книги.

Вообще интересует уравнение $\mathbf{f}(\mathbf{x},A_i)=\mathbf{0},\quad\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n},\quad f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n},
 $ где $f$ - столбец функций аналитических в области определения, $A_i\in\mathbb{R}^{m}$ - параметры. Известно, что $\mathbf{f}$ непрерывна от $\mathbf{x},\,A_i$ Но для большей определенности и простоты можно взять

$$\begin{array}{rcl}
f(x,y,A_i) &=&0,\\
g(x,y,A_i) &=&0,\\
\end{array}
$$
где $f,\,g$ - многочлены некоторой большой степени, $A_i$ - параметры, коэфициенты многочленов.

Интересует следующее:
  • Как доказывается непрерывная зависимость (комплексных) корней от коэфициентов многочленов (в одномерном, а также в случае многих переменных)?
  • При каких условиях имеет место непрерывная зависимость корней в случае когда $f,\,g$ являются не многочленами, а просто непрерывно дифференцируемыми функциями?
  • Верно ли, что невырожденность якобиана $\partial\mathbf{f}/\partial\mathbf{x}$ всюду в области определения для всех значений параметров достаточна для существования непрерывно зависящего от параметров действительного корня?

Единственный известный мне факт, относящейся к теме, является Теорема о неявной функции в этой форулировке.

Буду рад любому свету, пролитому на эти темы, а в особенности объяснениям, которые будут понятны человеку, плохо знающему ТФКП и алгебру. Ссылка на страницу книги или лекций (рус, англ) с пояснением, что я там найду, является желанным ответом. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни алгебраического / трансцендентного уравнения
Сообщение28.01.2015, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
Иногда корень трансцендентного уравнения можно разложить в ряд по степеням малого параметра. По сути, это задача обращения степенного ряда: если $w(z)$ раскладывается в ряд по степеням $z$, найти $z(w)$ в виде ряда по степеням $w$. Эту задачу в простом случае решает теорема Бюрмана-Лагранжа. Таким образом удалось найти решение уравнения Кеплера в небесной механике. В принципе, это не особо навороченная ТФКП, и прочитать можно в книге Лаврентьева и Шабата, у Маркушевича тоже, в книгах по асимптотическим методам (Евграфов).

Ну а в Вашей общей и многомерной постановке, действительно, лучше подойдет теорема о неявной функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group