2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 15:15 


22/11/11
380
1) На плоскости даны $2000$ точек и окружность радиуса $1$. Докажите, что на окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до $2000$ данных точек более $2000$.
Если соединить эти $2000$ точек с данной точкой и между собой, то используя неравенство треугольника -- удвоенная сумма расстояний от точки на окружности до $2000$ точек будет больше, чем длина ломанной, соединяющей эти $2000$ точек между собой. Пока что только такая идея есть. А дальше что еще можно использовать? Я так понимаю, что в задаче подразумевается, что для любой конфигурации $2000$ точек?
2) Найти все положительные x, такие, что $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}+\left[\dfrac{\{x\}}{x}\right]=1$

Я только пока что понимаю, что $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}=\dfrac{[x]}{x}$, потому как $\dfrac{[x]}{x}<1$ и $\dfrac{\{x\}}{x}<1$, потому $\left[\dfrac{\{x\}}{x}\right]=0$, значит $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}=1$, но такого быть не может ,потому как $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}<1$, то есть таких $x$ нет? Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 15:19 
Заморожен


20/12/10
5623
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
Я только пока что понимаю, что $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}=\dfrac{[x]}{x}$, потому как $\dfrac{[x]}{x}<1$ ...
Последнее неравенство верно, но не всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11090
Казань
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
$\dfrac{\{x\}}{x}<1$

Это тоже не всегда верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13136
с Территории
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
удвоенная сумма расстояний от точки на окружности до $2000$ точек будет больше, чем длина ломанной, соединяющей эти $2000$ точек между собой
Это, положим, годная идея в случае, если длина ломаной составляет 4000. А если она внезапно 40? Или вообще 0.4?
Надо как-то не так. Может, доказать то же самое для одной точки? Только у неё это "то же самое" будет совсем другое. Ну, типа, посчитать среднее расстояние от точки до всей окружности. Если среднее - вот такое, то хоть где-нибудь да выйдет больше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 18:54 


22/11/11
380
Неравенство $\dfrac{[x]}{x}<1$ выполняется для всех положительных нецелых $x$, тк для положительных $x$ получаем $[x]<x$, что, безусловно, верно.

$\dfrac{\{x\}}{x}<1$ выполняется для всех положительных $x$, так как $\{x\}<x$, что, безусловно, верно.

Разве неверно в такой постановке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 19:05 
Заморожен


20/12/10
5623
Andrei94 в сообщении #968724 писал(а):
$\dfrac{\{x\}}{x}<1$ выполняется для всех положительных $x$, так как $\{x\}<x$, что, безусловно, верно.
Угу, особенно для $x=1/2$ (например).

-- Пн янв 26, 2015 23:06:24 --

Andrei94 в сообщении #968724 писал(а):
Неравенство $\dfrac{[x]}{x}<1$ выполняется для всех положительных нецелых $x$, тк для положительных $x$ получаем $[x]<x$, что, безусловно, верно.
Это верно. Но ведь целые $x$ тоже люди. Как с ними-то быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 19:07 


22/11/11
380
ИСН в сообщении #968649 писал(а):
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
удвоенная сумма расстояний от точки на окружности до $2000$ точек будет больше, чем длина ломанной, соединяющей эти $2000$ точек между собой
Это, положим, годная идея в случае, если длина ломаной составляет 4000. А если она внезапно 40? Или вообще 0.4?
Надо как-то не так. Может, доказать то же самое для одной точки? Только у неё это "то же самое" будет совсем другое. Ну, типа, посчитать среднее расстояние от точки до всей окружности. Если среднее - вот такое, то хоть где-нибудь да выйдет больше...


Там эллипс будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4008
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
1) На плоскости даны $2000$ точек и окружность радиуса $1$. Докажите, что на окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до $2000$ данных точек более $2000$.

Рассмотрите различные варианты расположения точек и окружности. Точки могут быть внутри круга, на окружности, за пределами круга. Что Вам кажется наиболее сложным?
Это всё только для общего понимания задачи. А самое сложное здесь не переборщить с подсказкой. Как это всё совместить одним решением? Может, спроецировать куда-то все эти точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение26.01.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13136
с Территории
Andrei94 в сообщении #968740 писал(а):
Там эллипс будет?
Где? У нас была задача про белых кроликов; откуда вдруг, почему, и в каком качестве там мог бы появиться эллипс (или, for that matter, любая другая геометрическая фигура)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение27.01.2015, 00:45 


22/11/11
380
nnosipov в сообщении #968738 писал(а):
Andrei94 в сообщении #968724 писал(а):
$\dfrac{\{x\}}{x}<1$ выполняется для всех положительных $x$, так как $\{x\}<x$, что, безусловно, верно.
Угу, особенно для $x=1/2$ (например).

-- Пн янв 26, 2015 23:06:24 --

Andrei94 в сообщении #968724 писал(а):
Неравенство $\dfrac{[x]}{x}<1$ выполняется для всех положительных нецелых $x$, тк для положительных $x$ получаем $[x]<x$, что, безусловно, верно.
Это верно. Но ведь целые $x$ тоже люди. Как с ними-то быть?


Да, был не прав, спасибо.

$\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}=\dfrac{[x]}{x}$, потому как $\dfrac{[x]}{x}\le1$ и $\dfrac{\{x\}}{x}\le1$, потому $\left[\dfrac{\{x\}}{x}\right]=0$, значит $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}=1$, но такого быть не может ,потому как $\left\{\dfrac{[x]}{x}\right\}\le 1$, то есть таких $x$ нет? Верно?

-- 27.01.2015, 00:52 --

ИСН в сообщении #968649 писал(а):
Andrei94 в сообщении #968618 писал(а):
удвоенная сумма расстояний от точки на окружности до $2000$ точек будет больше, чем длина ломанной, соединяющей эти $2000$ точек между собой
Это, положим, годная идея в случае, если длина ломаной составляет 4000. А если она внезапно 40? Или вообще 0.4?
Надо как-то не так. Может, доказать то же самое для одной точки? Только у неё это "то же самое" будет совсем другое. Ну, типа, посчитать среднее расстояние от точки до всей окружности. Если среднее - вот такое, то хоть где-нибудь да выйдет больше...


Для 1 точки. Если эта точка лежит вне круга радиуса 2 с центром в той же точке, что и окружность, то расстояние будет больше 1.
Если в кольце между 2 окружностями, то проведем прямую через данную точку и через центр окружности, дальняя точка пересечения с окружностью данной в условии будет находится на расстоянии, большем, чем 2. Если внутри окружности радиуса 1 или на ней, то можно также провести прямую и аналогично получаем, что расстояние не менее, чем 1.
Правильно?
А дальше можно по индукции, да?

-- 27.01.2015, 00:54 --

ИСН в сообщении #968846 писал(а):
Andrei94 в сообщении #968740 писал(а):
Там эллипс будет?
Где? У нас была задача про белых кроликов; откуда вдруг, почему, и в каком качестве там мог бы появиться эллипс (или, for that matter, любая другая геометрическая фигура)?

Да, эллипс тут не причем, что-то я не в ту сторону подумал (пытался зафиксировать сумму расстояний от двух заданных точек, впрочем, уже не важно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение27.01.2015, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11090
Казань
Andrei94 в сообщении #968971 писал(а):
то есть таких $x$ нет? Верно?

Неверно. Проверьте хотя бы уже упоминавшееся $x=0,5$.
Вы в обоих рассуждениях отбросили равенство в неравенствах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение27.01.2015, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13136
с Территории
Andrei94 в сообщении #968971 писал(а):
Правильно?
А дальше можно по индукции, да?
Ага, попробуйте по индукции. Правда, ничего не выйдет, но это в любом случае полезно. Что толку, что на окружности есть места, удалённые от одной точки? Как только точек делается две, то у них эти удалённые - в разных (вообще говоря) местах, и всё летит к чёрту, и мы ничего не знаем и не можем оценить.
Я намекал там, что для одной точки надо оценивать что-то совсем другое, но - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма расстояний, целая и дробная часть (2 задачи)
Сообщение27.01.2015, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4008
Andrei94 в сообщении #968971 писал(а):
Правильно?
А дальше можно по индукции, да?

Ну теперь-то я спокоен -- не переборщил я со своей подсказкой. Примерно на уровне.
Ну вот появился у Вас диаметр, правильно, и 2 точки пересечения его с окружностью, тоже правильно. Расстояние от единственной пока точки плоскости до одной из этих двух точек на окружности не менее 1 -- и это верно. А теперь добавляем ещё одну точку плоскости. Что с ней делать? Решите сначала этот вопрос, а потом индукция станет такой же ненужной, как и эллипс.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group