2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 19:46 


14/11/13
244
Требуется доказать равномерную сходимость на множестве $E$ интеграла с параметром:
$$I(\alpha)=\int\limits_0^{+\infty}{e^{-\alpha x^4}}dx$$ $$E=[\alpha_0; +\infty], \alpha_0>0$$

Пусть $\xi>0$ и $\alpha \geqslant \alpha_0 >0$.
Тогда $\int\limits_{\xi}^{+\infty}{e^{-\alpha x^4}}dx =\frac{e^{-\alpha \xi^4}}{4 \alpha \xi^3}$ и можем записать неравенство:
$$\forall \varepsilon > 0 \forall a \in E: 0<\int\limits_{\xi}^{+\infty}{e^{-\alpha \xi^4}}dx \leqslant \frac{e^{-\alpha_0 \xi^4}}{4 \alpha_0 \xi^3}<\varepsilon$$

Верно ли я понимаю, что теперь мы должны понять при каких $\xi$ будет выполняться это неравенство и указать $\delta_{\varepsilon}$, начиная с которого для всех $\xi$ будет выполняться это неравенство.
Это и будет означать равномерную сходимость.
Подскажите, верен ли ход решения и если да, то как нам выразить $\xi$ через $\varepsilon$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
А вам обязательно доказывать по определению? По признаку какому-нибудь разве нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:15 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968184 писал(а):
А вам обязательно доказывать по определению? По признаку какому-нибудь разве нельзя?

Почему-то подумалось, что тут будет лучше пользоваться определением...
А, может быть тогда по признаку Вейерштрасса?
$e^{-\alpha x^4} \leqslant e^{-\alpha x}$ на $[\alpha_0; +\infty]$ и доказать сходимость $\int\limits_0^{+\infty}e^{-\alpha x}$ на $E$ по определению?

Вот только вблизи нуля неравенство выполняться не будет, но у нас же мн-во E от $\alpha_0$ а не от нуля... Значит мы можем такой переход сделать или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
Нет, не надо менять вхождение $x$. Надо получить оценку, не содержащую $\alpha$. Заметьте, что $\alpha_0$ переменную $\alpha$ не содержит

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:28 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968198 писал(а):
Нет, не надо менять вхождение $x$. Надо получить оценку, не содержащую $\alpha$. Заметьте, что $\alpha_0$ переменную $\alpha$ не содержит

Но ведь я правильно понимаю, что нам надо получить оценку, которая будет выполняться с некоторого числа, а не на всем отрезке $(0; +\infty)$
Если так, то тогда похоже можем так ограничить просто: $e^{-\alpha x^4} \leqslant e^{-x^4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
SlayZar в сообщении #968201 писал(а):
которая будет выполняться с некоторого числа, а не на всем отрезке $(0; +\infty)$

Отрезке чего, какой оси? Оси иксов или оси альф?

Давайте так: приведите тот признак которым хотите воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:36 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968204 писал(а):
SlayZar в сообщении #968201 писал(а):
которая будет выполняться с некоторого числа, а не на всем отрезке $(0; +\infty)$

Отрезке чего, какой оси? Оси иксов или оси альф?

Давайте так: приведите тот признак которым хотите воспользоваться.

Ну да, иксов
Воспользоваться хочу признаком Вейершрасса:
Если на промежутке $[\alpha_0; +\infty)$ существует функция $\phi(x)$, такая, что $\forall x \in [\alpha_0; +\infty): \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \phi(x)$, то из сходимости $\phi(x)$ следует равномерная сходимость интеграла $\int\limits_{\alpha_0}^{+\infty}f(x,\alpha)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
SlayZar в сообщении #968212 писал(а):
такая, что $\forall x \in [\alpha_0; +\infty): \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \phi(x)$,
Нет, не так! Признак Вейерштрасса не так выглядит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:43 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968215 писал(а):
SlayZar в сообщении #968212 писал(а):
такая, что $\forall x \in [\alpha_0; +\infty): \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \phi(x)$,
Нет, не так! Признак Вейерштрасса не так выглядит.

Ну это определение из Кудрявцева.
Вот так точнее:
$\forall x \in [\alpha_0; +\infty), \forall \alpha \in E: \left|f(x,\alpha)\right| \leqslant \phi(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
Теперь лучше. Но у вас нестыковка в обозначениях. Что в определении из учебника означает $\alpha_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31269
Функция же монотонна по параметру, так что хвост интеграла тупо оценивается через тот же хвост для начального значения этого параметра. И совершенно не важно при этом, чему конкретно последний хвост равен -- достаточно того, что он заведомо стремится к нулю; это ровно и есть равномерная сходимость, непосредственно по определению равномерной сходимости, и никаких признаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11255
Казань
ewert
Можно и так. Но человек по-моему не разобрался в своих обозначениях. Что к чему относится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 20:59 
Заслуженный участник


11/05/08
31269
Да не можно, а нужно. Нужно ж понимать смысл определения, а не гонять туды-сюды кванторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:13 


14/11/13
244
ewert в сообщении #968235 писал(а):
Функция же монотонна по параметру, так что хвост интеграла тупо оценивается через тот же хвост для начального значения этого параметра. И совершенно не важно при этом, чему конкретно последний хвост равен -- достаточно того, что он заведомо стремится к нулю; это ровно и есть равномерная сходимость, непосредственно по определению равномерной сходимости, и никаких признаков.

То есть, из этого неравенства
$$\forall \varepsilon > 0 \forall a \in E: 0<\int\limits_{\xi}^{+\infty}{e^{-\alpha \xi^4}}dx \leqslant \frac{e^{-\alpha_0 \xi^4}}{4 \alpha_0 \xi^3}<\varepsilon$$
мы сразу говорим о равномерной сходимости? Но ведь по определению мы вроде бы должны указать, при каких $\sigma_{\varepsilon}$ это выполняется...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение25.01.2015, 21:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31269
SlayZar в сообщении #968257 писал(а):
Но ведь по определению мы вроде бы должны указать, при каких $\sigma_{\varepsilon}$ это выполняется...

Мы никому ничего не должны. От нас требуется лишь доказать, что такая $\sigma_{\varepsilon}$ существует, а чему конкретно она равна -- никому не интересно. (а кстати: кто такая сигма?...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group