2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
SlayZar в сообщении #968785 писал(а):
$\forall x \in [0; +\infty), \forall \alpha \in [\alpha_0; +\infty): \left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-x^4}$.
Для каких $\alpha$ выполняется эта оценка?
А вот зачем нам упоминали об $\alpha_0$? Где оно используется в оценках?

SlayZar в сообщении #968785 писал(а):
Вот только эти оценки похоже будут верны при $x>1$ а у нас интеграл от нуля. Можем ли мы так поступать?
Можем. Ведь у интеграла нет особенностей на промежутке $[0;1]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 20:21 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968788 писал(а):
SlayZar в сообщении #968785 писал(а):
$\forall x \in [0; +\infty), \forall \alpha \in [\alpha_0; +\infty): \left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-x^4}$.
Для каких $\alpha$ выполняется эта оценка?
А вот зачем нам упоминали об $\alpha_0$? Где оно используется в оценках

Эта оценка получается при $\alpha>1$.
Но вот не совсем понимаю. У нас же $\alpha_0>0$
Мы же не можем наложить дополнительных условий чтобы оно еще и больше единицы было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
А зачем нам больше единицы?
provincialka в сообщении #968198 писал(а):
Надо получить оценку, не содержащую $\alpha$. Заметьте, что $\alpha_0$ переменную $\alpha$ не содержит

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 20:33 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968812 писал(а):
А зачем нам больше единицы?
provincialka в сообщении #968198 писал(а):
Надо получить оценку, не содержащую $\alpha$. Заметьте, что $\alpha_0$ переменную $\alpha$ не содержит


Но ведь эта оценка
Цитата:
$\left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-x^4}$
верна для $\alpha \geqslant 1$ ну или так как у нас $\alpha \geqslant \alpha_0$ то она верна для $\alpha_0 \geqslant 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
О боже! Ну как же еще подсказать? Ладно, пишу прямо: $\left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-\alpha_0x^4}$ для всех $x$ и для $\alpha\geqslant\alpha_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 21:30 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #968845 писал(а):
О боже! Ну как же еще подсказать? Ладно, пишу прямо: $\left|e^{-\alpha x^4}\right| \leqslant e^{-\alpha_0x^4}$ для всех $x$ и для $\alpha\geqslant\alpha_0$

Да, точно,
а теперь тогда ограничиваем сходящимся $e^{-\alpha_0x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
SlayZar в сообщении #968855 писал(а):
а теперь тогда ограничиваем сходящимся $e^{-\alpha_0x}$?
Ни слова не поняла. То есть догадываюсь, наверное, но нужные слова у вас где-то в голове застряли ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
SlayZar
А с четвертой степенью разве не сходится интеграл? Обязательно на первую заменять?
Принципиальное значение имеет то, что наша оценка не зависит от $\alpha$ -- вот что Вы должны понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение26.01.2015, 22:42 


14/11/13
244
ex-math в сообщении #968862 писал(а):
SlayZar
А с четвертой степенью разве не сходится интеграл? Обязательно на первую заменять?
Принципиальное значение имеет то, что наша оценка не зависит от $\alpha$ -- вот что Вы должны понять.


Да, получается главное, что избавились от параметра.
Теперь мы впринципе можем просто написать, что $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0x^4}}$ сходится (по признаку Коши, например), да?
А так как этот интеграл сходится, то исходный сходится равномерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 17:31 


14/11/13
244
Это я что-то не то написал.
Мы по Вейерштрассу ограничили наш интеграл интегралом $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0x^4}}dx$
Теперь, чтобы доказать его сходимость применим признак сравнения:
$\forall x >1 \forall \alpha_0>0 : e^{-\alpha_0x^4}<\frac{1}{x^4}$
$\int\limits_1^{+\infty} {\frac{1}{x^4}}dx$ сходится.

Значит, по признаку сравнения сходится интеграл $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0x^4}}dx$, а по признаку Вейерштрасса также равномерно сходится интеграл $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha x^4}}dx$ на $E$

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
SlayZar в сообщении #969348 писал(а):
Мы по Вейерштрассу ограничили наш интеграл интегралом $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0x^4}}dx$
Скорее, подынтегральную функцию ограничили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 17:39 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #969356 писал(а):
SlayZar в сообщении #969348 писал(а):
Мы по Вейерштрассу ограничили наш интеграл интегралом $\int\limits_0^{+\infty} {e^{-\alpha_0x^4}}dx$
Скорее, подынтегральную функцию ограничили.

Ну да)
Хорошо, спасибо за помощь)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
SlayZar в сообщении #969348 писал(а):
$\forall x >1 \forall \alpha_0>0 : e^{-\alpha_0x^4}<\frac{1}{x^4}$

Почему так? Вы это доказали? Ведь $\alpha_0$ может быть очень маленьким. Уж лучше оставьте в оценке экспоненту, но измените степень у $x$. Хотя сходимость нужного интеграла очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 18:03 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #969367 писал(а):
SlayZar в сообщении #969348 писал(а):
$\forall x >1 \forall \alpha_0>0 : e^{-\alpha_0x^4}<\frac{1}{x^4}$

Почему так? Вы это доказали? Ведь $\alpha_0$ может быть очень маленьким. Уж лучше оставьте в оценке экспоненту, но измените степень у $x$. Хотя сходимость нужного интеграла очевидна.

Да, получается моя оценка выполняется лишь с некоторого $x$, но это все равно будет достаточно для сходимости.
Пусть $e^{-\alpha_0 x^4} < \frac{1}{x^2}$ выполнено для всех $x \geqslant x_0$. Тогда можно утверждать, что $\int\limits_0 ^{+\infty} {e^{-\alpha_0 x^4}}dx$ сходится, так как можем разбить его на сумму двух интегралов: $\int\limits_0 ^{x_0} {e^{-\alpha_0 x^4}}dx + \int\limits_{x_0}^{+\infty} {e^{-\alpha_0 x^4}}dx$ , где первый интеграл - конечное число, а второй сходится по признаку сравнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную сходимость интеграла
Сообщение27.01.2015, 18:07 
Заслуженный участник


11/05/08
30884
SlayZar в сообщении #969384 писал(а):
Пусть $e^{-\alpha_0 x^4} < \frac{1}{x^2}$

А Вы это доказали? И чем Вам не нравится оценка $x<x^4$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group