Функциональный анализ. Продолжение функционала на L2

[Konig]

Подскажите по задачке:
В $L^2[0,1]$ на подпространстве $M$ многочленов степени не выше первой задан функционал $f(x(t))=x(1)$. Найти продолжение $f$ на $L^2$ с сохранением нормы.

Функционал $f$ ставит в соответствие каждому полиному вида $x(t)=a+bt$ число $a+b$. Нашел я норму $f$ на $M$ - она равна 2. Далее, по одной из теорем Рисса сопряженное к гильбертову есть гильбертово, а значит любой линейный непрерывный функционал $g$ представим в виде скалярного произведения $g(x)=(x(t), \phi(t)) = \int_0^1x(t)\phi(t)dt$, причем $\| g \|= \| \phi \|$. Имеем 2 условия:
$\int_0^1(a+bt)\phi(t)dt=a+b$ (ограничение $g$ на $M$ должно равняться $f$)
$\|g\|^2=\int_0^1\phi^2(t)dt=\|f\|^2=4$

Как быть дальше? Как подбирать эту $\phi$?

Начал копать в сторону обобщенных функций, как я понял, раз дельта функция - это функционал в пространстве основных функций, то она же является и функционалом в $L^2$, а значит, ему должен соответствовать какой-то элемент $L^2$. Но, не очень понятно, что это за элемент, или что такое норма дельта функции в $L^2$ и как сделать её равной 2.

[ewert]

Konig в сообщении #967335 писал(а):

раз дельта функция - это функционал в пространстве основных функций, то она же является и функционалом в $L^2$,

В точности наоборот: раз первое, то никак не второе (т.е. как минимум не следует, ну и заведомо неверно).

А вот про Рисса это Вы удачно вспомнили. Коль скоро уж $M$ -- воистину подпространство, да к тому же и сильно конечномерное, то именно в нём и ищите ту функцию, которая задаёт этот функционал.