2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 21:58 


26/12/13
228
Здравствуйте, к сожалению до учась до третьего курса на матфаке я пришел к выводу, что так и не понимаю, что такое операция возведения в нецелую степень, функции синус и косинус

Как я знаю множество действительных чисел является полем с определенными на нем 2 операциями $+$ и $*$ и выполнен ряд условий на них, и как я понимаю функция из $R$ в $R$ $F(x)=x^p , p>0$ должна как-то через эти операции определяться, только вот как сообразить не могу, в случае натурального $p$ все понятно, но что делать , если $p=1/2$???

Я просто не понимаю, как высчитывается $3=\sqrt{9}$ т.е. ищется такой элемент, что бы при выполнение операции умножения $3$ на $3$ получилось число 9?

Как тогда быть когда степень иррациональное число?

Та же самая картину с синусами и косинусами, как определяются эти штуки, да очевидно, что можно определить через ряды, но опять же возникает вопрос, ведь в поле операция $+$ ассоциативна, а в рядах так просто переставлять члены нельзя, да и вообще, когда-то же не было рядов как без них определить функцию?

Мучают меня эти вопросы давно, а ответа найти так и не могу, объясните пожалуйста как все это происходит

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:08 
Заслуженный участник


14/03/10
867
вот это да :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6072
loshka в сообщении #966963 писал(а):
Здравствуйте, к сожалению до учась до третьего курса на матфаке я пришел к выводу, что так и не понимаю, что такое операция возведения в нецелую степень, функции синус и косинус
loshka в сообщении #966963 писал(а):
Мучают меня эти вопросы давно, а ответа найти так и не могу, объясните пожалуйста как все это происходит

Не верю!! (Станиславский)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:10 


19/05/10
24/07/17
3835
Россия
loshka в сообщении #966963 писал(а):
...до учась до третьего курса на матфаке...
Как ВУЗ то называется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:18 


15/04/12
159
Насколько я помню делается так.
Допустим мы хотим определить $\sqrt{2}$. Заметим, что если мы бы искали такое число среди рациональных чисел, то ничего бы не нашли, как известно нет такого рационального числа, которое в квадрате дает $2$. Поэтому нужно пользоваться свойствами действительных чисел (аксиомами, определяющие действительные числа). У Зорича такую роль играет аксиома полноты - если у нас есть два множества действительных чисел $A$ и $B$, причем любой элемент $B$ больше любого элемента $A$, то найдется элемент $x$ лежащий между $A$ и $B$.
Рассмотрим тогда $A = x \in \mathbb{R} : x^2 < 2 $ и $B = x \in \mathbb{R} : x^2 > 2 $. По аксиоме найдется элемент $y$, посередине между этими множествами. Но ему ничего не остается кроме как быть $y^2 = 2$
Аналогично можно определить любые корни и рациональную степень $x^{\frac{a}{b}} = (x^{\frac{1}{q}})^p$
Теперь к действительной степени.
Возьмем $x$ - иррациональное. Тогда определим $a^x = \sup_{q<x} a^q$. $q$ здесь рациональное, так что это выражение вполне определено. Неформально мы просто берем например приближение иррационально числа десятичными дробями - они рациональны - возводим в них и в пределе получаем искомую степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Здесь помимо структуры поля используется еще и непрерывность. Почитайте, как определяется показательная функция вещественного аргумента, многое прояснится. Еще почитайте о вещественных числах, как они строятся, какими свойствами обладают. Это обычно в начале хороших учебников по мат.анализу пишут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:26 


15/04/12
159
Теперь с синусом и косинусом.
Сначала докажем что окружность единичного радиуса спрямляема (короче говоря имеет какую-то длину). Для этого определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга. Можно показать что она будет конечна. Обозначая ее за $2 \pi $ можно показать что $\pi < 4$ и больше $2$.
Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$. Тогда $\sin(y)$ по определению будет равен абсциссе проекции из конца дуги на ось $x$. Ну а через синус формулами приведения можно и другие три функции выразить

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 22:27 


19/05/10
24/07/17
3835
Россия
Насколько я (точно!) знаю делается это так.
Берем калькулятор и считаем (все остальные способы подсчета корней фигня).
loshka, вы калькулятор то хоть видели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение22.01.2015, 23:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):
Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$.

Далеко, далеко не пусть. Из существования длины всей окружности ещё далеко не следует существование длины дуги и тем более какие-то свойства этой дуги. Вы чересчур уж легкомысленно торопитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Надо будет ещё определить угол (поворота), и как углы связаны с дугами любимой окружности. Эх, было бы много проще аргумент синусов считать в оборотах — можно вообще было бы не трогать длину никакой кривой!

-- Пт янв 23, 2015 03:23:28 --

Она бы, конечно, в покое нас не оставила и повылезла в ряде Тейлора и других интересных местах, но зато вначале экономия. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 01:55 


26/12/13
228
Спасибо CptPwnage буду думать, у меня это почему-то все очень тяжело вяжется с понятием поля из алгебры

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20017
Уфа
Так ведь, ещё раз, поля тут недостаточно. Поля бывают разные, и не во всех них есть смысл у некоторых вещей, определённых для $\mathbb R$ или, скажем, $\mathbb C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 02:51 


15/04/12
159
ewert в сообщении #967000 писал(а):
CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):
Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$.

Далеко, далеко не пусть. Из существования длины всей окружности ещё далеко не следует существование длины дуги и тем более какие-то свойства этой дуги. Вы чересчур уж легкомысленно торопитесь.

Ну все-таки почти следует, если не существует длина дуги (супремум длин ломаных равен бесконечности) то эти ломаные можно тривиально достроить до вписанных в окружность ломаных и для них получаем то же самое - супремум бесконечность. Но еще надо доказать что длина дуги монотонно возрастает и все такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 03:15 
Заслуженный участник


16/02/13
2737
Владивосток
CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):
определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга
Что-то я вам, простите, не верю. Вот видели, как дети закрашивают окружность? Карандашом влево-вправо, влево-вправо. По-моему, я таким вот образом могу любой длины ломаную сделать.
И что за «внутри круга»? Определять длину кривой через объемлемую ей фигуру — моветон, имхо. А вдруг нам случится встретить незамкнутую кривую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться
Сообщение23.01.2015, 03:38 


15/04/12
159
iifat в сообщении #967044 писал(а):
CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):
определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга
Что-то я вам, простите, не верю. Вот видели, как дети закрашивают окружность? Карандашом влево-вправо, влево-вправо. По-моему, я таким вот образом могу любой длины ломаную сделать.
И что за «внутри круга»? Определять длину кривой через объемлемую ей фигуру — моветон, имхо. А вдруг нам случится встретить незамкнутую кривую?

Да да правильно, сначала определим длину верхней полуокружности - надо сказать что мы берем ломаную с вершинами на полуокружности у которой абсциссы узлов возрастают, первая точка - самая левая, конечная - самая правая. И по таким уже супремум. Ну и для всей окружности возьмем в 2 раза большую длину.
Я взял это определение из http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf по матанализу для 57й школы - страница 56. Вполне строгое определение в принципе

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group