2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:02 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. Рассмотрим группу $GL_2(\mathbb{Q})$ и группу кватернионов $Q_8$. Нашу группу кватернионов можно рассматривать как $Q_8 = \lbrace a, b : \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ a^{-1} = b^{-1} a b \rbrace$ (или $Q_8 = \lbrace 1, \ a, \ a^2, \ a^3, \ b, \ ab, \ a^2 b, \ a^3 b | \ a^4 = 1, \ a^2 = b^2, \ b a = a^3 b \rbrace$). Мне нужно показать, что $Q_8$ не является конечной подгруппой группы $GL_2(\mathbb{Q})$. Мне бы подсказку как начать :-) . Я даже не знаю какую свою идею предложить. Может как-то через представление группы $Q_8$. Заранее, спасибо. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13143
с Территории
Когда не знаешь, надо тыкать во все кнопки и дёргать за все рычаги - и обязательно полетишь.
Я тоже не знаю. Ну ладно, а что можно сделать? Вот корни 4-й степени из 1. В кватернионах понятно (понятно ли?), сколько их и кто они. А в матрицах? Как думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:20 


26/08/09
197
Асгард
В кватернионах : $1, \ i, \ j, \ k$, и там еще правила их умножения. Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать. А вот в $\mathbb{Q}$ как-то не удается сходу.. :oops:

-- 22 янв 2015, 18:30 --

А может взять прям и обозначить две матрицы $x, \ y \in GL_2(\mathbb{Q})$:
$$
x = \begin{pmatrix}
a_x &  b_x \\
c_x &  d_x 
\end{pmatrix}
\qquad
y = \begin{pmatrix}
a_y &  b_y \\
c_y &  d_y 
\end{pmatrix}
$$
По определению : $x^4 = 1, \ x^2 = y^2, \ x^{-1} = y^{-1} x y$. Получаться какие-то соотношения на коэффициенты матриц. Как-нибудь из этого может выйти? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13143
с Территории
Может (наверное). Но я бы двигался тем путём, на который указал в предыдущем сообщении.

-- менее минуты назад --

3.14 в сообщении #966745 писал(а):
Вот если бы поле было бы $\mathbb{C}$, то и матрицы можно написать.
Дак и напишите! Просто будем иметь в виду, что "вот это должно быть из $\mathbb Q$", и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:21 


26/08/09
197
Асгард
Так..Ну вот матрицы
$$
A = \begin{pmatrix}
a  & b \\
c & d 
\end{pmatrix}
$$
такие, что $A^4 = 1$ могут быть очень разными. Например все такие матрицы :
1.
$$
\begin{pmatrix}
\xi_4  & 0 \\
0 & \xi_4 
\end{pmatrix},
$$
где $\xi_4$ - корни 4-й степени из единицы.
Там еще куча случаев. В принципе, их можно рассмотреть. Просто не до конца понятно к чему идем :-) К противоречию какому-нибудь ? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13143
с Территории
Мне тоже неясно. Я пытаюсь проиллюстрировать метод мышления, состоящий в том, что когда неясно, то надо выяснять путём случайных движений. Ну ладно, а если мы ограничимся действительнозначными матрицами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 16:27 


26/08/09
197
Асгард
Еще могут быть такие матрицы $(b \neq 0)$:
$$
\begin{pmatrix}
0 & b \\
\frac{1}{b} &  0 
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
0 & b \\
-\frac{1}{b} & 0 
\end{pmatrix}
$$

-- 22 янв 2015, 20:29 --

Вот я тут поискал. Наткнулся на такой сайт : http://math.stackexchange.com/questions ... as-a-group
Вам там что-нибудь понятно ? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
796
ЦФО, Россия
3.14, попробуйте подойти иначе. Если $Q_{8}\subset  GL_{2}(Q)\subset GL_{2}(\mathbb{R})$, то ... алгебра $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb R)$. Но алгебра кватернионов не представима вещественными матрицами размера $2\times2$, поскольку ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 19:17 


26/08/09
197
Асгард
lek, :-) я немного не понял ) просто не силен в этих алгебрах и представлениях. Сейчас освежу память :oops:

-- 22 янв 2015, 23:55 --

Я увидел, что на вещественным полем алгебра кватернионов представляется матрицами размера $4 \times 4$. А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял. Кстати, а вот если рассмотреть матрицу
$$
x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 
\end{pmatrix}.
$$
Заметим, что $x^4 = 1$. Далее, должна быть матрица $y$ такая, что $x^2 = y^2$ и $x^{-1} = y^{-1} x y$. Обозначим
$$
y =  \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}.
$$
Учитывая наши равенства, постоянно приходим к противоречию с тем, что $a, b, c, d \in \mathbb{Q}$. Значит такой матрицы $y \in GL_2(\mathbb{Q})$ нет. Отсюда, видно, что $Q_8$ не лежит в $GL_2(\mathbb{Q})$. Смущает только то, что матрицу мы сами взяли такую, но, вроде, в определении можно брать любую порядка 4. Вот взяли любую и получили противоречие.

-- 23 янв 2015, 00:11 --

$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной. Так, вроде... :oops: :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
796
ЦФО, Россия
3.14 в сообщении #966878 писал(а):
А вот почему нельзя матрицами размера 2, я пока не понял.

Это можно легко показать. Во-первых,
3.14 в сообщении #966878 писал(а):
$\mathbb{H}$ двумерная алгебра над $\mathbb{C}$. Значит над $\mathbb{R}$ она должна быть 4-х мерной.

Потому из включения $\mathbb{H}\subset M_{2\times2}(\mathbb{R})$ следует равенство этих алгебр (они имеют одинаковую размерность над $\mathbb{R}$). Во-вторых, алгебра $\mathbb{H}$ является алгеброй с делением. Поэтому из равенства $ab=0$ в $\mathbb{H}$ должно следовать $a=0$ или $b=0$. Постройте контрпример в $M_{2\times2}(\mathbb{R})$ и тем самым докажете отсутствие такого представления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа кватернионов Q8
Сообщение22.01.2015, 20:47 


26/08/09
197
Асгард
lek, спасибо. Я попробую построить контрпример )

-- 23 янв 2015, 01:39 --

То есть если рассмотреть две матрицы :
$$
\begin{pmatrix}
1 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix},
\
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$$
То всё будет доказано, так как
$$
\begin{pmatrix}
1 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
$$
А можно еще раз. Так как мы предположили, что $Q_8 \subset GL_2(\mathbb{Q}) \subset GL_2(\mathbb{R})$, то алгебра кватернионов $\mathbb{H} \subset Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ (вот это я не совсем понял, ибо не помню как группы и алгебры взаимодействуют). Дальше, потом мы как-то поняли, что верно и обратное включение(вот это не совсем понял), значит они раны, но $\mathbb{H}$ с делением, а $Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})$ нет, есть контрпример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group