2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Верно ли доказательство?
Сообщение19.01.2015, 14:36 


17/12/13
96
При исследовании свойств системы сжатых капель потребовалось доказать следующее утверждение:

На плоскости имеется точка $O$, через которую проведена ось $X$. На некотором участке плоскости, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до точки $O$, действует преобразование $f$, переводящее отрезок $KL$, перпендикулярный оси $X$ и пересекающий ее в точке $P$, в дугу окружности $K'L'$ радиусом $OP=R$ с центром в точке $O$ с сохранением расстояний вдоль дуги.

Изображение

Утверждается, что если на месте отрезка $KL$ будет расположена дуга $EF$ радиусом $\rho$, пересекающая ось $X$ в той же точке $P$ с центром $C$, лежащем на оси $X$, то данное преобразование $f$ переведет ее в дугу, так же расположенную, но с иным радиусом $\rho'$ таким, что: $$\frac 1 {\rho'}\approx\frac 1 \rho+\frac 1 R$$
Доказательство:
Выберем на отрезке $KL$ произвольную точку $M$, отстоящую от $P$ на расстоянии $s$ (первый рисунок). Когда рассматриваемое преобразование переведет отрезок $KL$ в дугу $K'L'$, точка $M$ займет новое положение $M'$ такое, что расстояние $M'P$, измеренное вдоль дуги, не изменится, и останется равным $s$, согласно условию. При этом нормаль к исходному отрезку $KL$, проведенная через точку $M$, повернется на угол $$\varphi_M=\frac s R$$ и займет положение отрезка $OM'$.

Теперь рассмотрим преобразование дуги $EF$ с радиусом $\rho$, у которой центр кривизны $C$ лежит на оси $X$ слева от точки $P$.

Изображение

На этой дуге отметим точку $N$, расположенную на том же расстоянии $s$ от точки $P$, измеренном вдоль дуги. Очевидно, что эта точка не совпадает с точкой $M$ на отрезке $KL$, но они могут быть сколь угодно близкими, если выбрать расстояние $s$ достаточно малым. Ввиду этого можно считать, что в результате преобразования $f$ дуга $EF$ изогнется так, что нормаль, проведенная к ней в точке $N$, повернется в ту же сторону и на тот же угол $\varphi_N\approx\varphi_M$, что и у отрезка $KL$ в точке $M$. При этом нормаль займет положение $N'C'$ (второй рисунок). Проведем через точку $N'$ прямую, параллельную $NC$ до пересечения с осью $X$ в точке $A$ и рассмотрим треугольник $AN'C'$. Как известно, внешний угол $\alpha'$ равен сумме внутренних, не смежных с ним: $$\alpha'=\alpha+\varphi_N\approx\alpha+\varphi_M,$$ но $\alpha'=\frac s {\rho'}$ и $\alpha=\frac s \rho$. Тогда с учетом ранее приведенного выражения для $\varphi_M$ получим:$$\frac s {\rho'}\approx\frac s \rho+\frac s R,$$ что после сокращения на $s$ даст $$\frac 1 {\rho'} \approx\frac 1 \rho+\frac 1 R,$$ что и требовалось.

Можно ли принять такое доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли доказательство?
Сообщение25.01.2015, 20:24 
Заслуженный участник


03/01/09
1175
москва
При некоторых предположениях о преобразовании $f$ можно доказать проще.
Поместим начало системы координат в точку $P$, тогда под действием $f$ точка $(0,s)$ переходит в точку $(-R(1-\cos (\dfrac sR)),R\sin (\dfrac sR))$. Или, оставляя слагаемые не выше второго порядка по $s$, в точку $(s,-\dfrac {s^2}{2R})$, т.е. точка, лежащая на оси $KL$, сдвигается на $-\dfrac {s^2}{2R}$ параллельно оси $X$. Предположим, что таким же образом (сдвигом параллельно оси $X$) преобразуются и точки, лежащие вблизи оси $KL$. Поскольку точки, лежащие на окружности радиуса $\rho $, имеют координаты $(s,-\dfrac {s^2}{2\rho })$, то при действии преобразования $f$ эти точки перейдут в $(s,-\dfrac {s^2}2(\dfrac 1{\rho }+\dfrac 1R))$, то есть на окружность, радиус которой удовлетворяет равенству:$$\dfrac 1{\rho' }\approx \dfrac 1{\rho }+\dfrac 1R$$. Недостаток этого и вашего доказательства в том, что нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли доказательство?
Сообщение26.01.2015, 17:23 


17/12/13
96
mihiv, ваше доказательство мне нравится больше. Кроме того, в своем доказательстве я рассматривал углы поворота, что для множества точек не совсем понятно, и это меня смущало. В вашем же рассматриваются смещения точек, и все становится на свои места. Спасибо.

В новой редакции своей книги я приведу ваше доказательство со ссылкой на вас, если не возражаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли доказательство?
Сообщение26.01.2015, 22:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1175
москва
kavict, у меня-то как раз остается сомнение по поводу этого доказательства, потому что
mihiv в сообщении #968199 писал(а):
нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

Так, например, существует преобразование инверсии, которое переводит прямую $KL$ в окружность $L'PK'$ и оставляет неподвижными точки окружности, лежащей между $KL$ и $L'PK'$.
Поэтому нужны какие-то дополнительные сведения об этом преобразовании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли доказательство?
Сообщение27.01.2015, 09:56 


01/12/11
1024
Почему $\varphi_M=\varphi_N $?

Что будет при $R=\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли доказательство?
Сообщение28.01.2015, 18:46 


17/12/13
96
mihiv в сообщении #968874 писал(а):
kavict, у меня-то как раз остается сомнение по поводу этого доказательства, потому что
mihiv в сообщении #968199 писал(а):
нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

Так, например, существует преобразование инверсии, которое переводит прямую $KL$ в окружность $L'PK'$ и оставляет неподвижными точки окружности, лежащей между $KL$ и $L'PK'$.
Поэтому нужны какие-то дополнительные сведения об этом преобразовании.

Как мне представляется, однозначно восстановить преобразование $f$ можно, если известно положение точки $P$ (можно назвать ее полюсом преобразования). Тогда $R=OP$, по новому положению точки $M'$ строим симметричную ей относительно прямой $OP$ точку $M''$ и через $M'PM''$ проводим окружность - так мы определим радиус $\rho'$. Далее, из соотношения $$\frac 1 \rho=\frac 1 {\rho'}-\frac 1 R$$находим исходный радиус $\rho$ (правда, исходное соотношение было приближенным). По найденному радиусу $\rho$ строим дугу, проходящую через точку $P$ с центром, лежащим на прямой $OP$, а по известному расстоянию $PM'$, измеренному вдоль дуги, восстанавливаем исходное положение $M$ точки.

-- 28.01.2015, 18:52 --

Skeptic в сообщении #969072 писал(а):
Почему $\varphi_M=\varphi_N $?
В моем доказательстве это равенство записано приближенным, т.к. точки $M$ и $N$ принимаются достаточно близкими, и можно считать, что при данном преобразовании повороты в этих точках примерно одинаковы.

-- 28.01.2015, 18:55 --

Skeptic в сообщении #969072 писал(а):
Что будет при $R=\infty$?
Предполагается, что в данном преобразовании с ростом $R$ смещение точек уменьшается. Так что на бесконечности это преобразование не действует и точки не сдвигаются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group