2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение18.01.2015, 23:27 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Уважаемые коллеги,
известно ли вам что-нибудь (какие-либо факты, литература и т.д., в общем,
руководящие указания) относительно следующей задачи (заранее извиняюсь,
если задача тривиальная, я по матанализу не специалист).

Пусть $f(x_1,\ldots,x_n)$ --- многочлен степени $d$ от $n$ действительных
переменных, и известно, что $f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2
\to +\infty$. Тогда, очевидно, число локальных минимумов многочлена $f$ конечно.
Верно ли, что оно ограничено некоторой функцией $p(d,n)$ от $d$ и $n$?

Если $d=0$ или $1$ , то многочленов, удовлетворяющих условию, вообще нет.
Если $d=2$ , то легко видеть, что $f$ приводится аффинным преобразованием
переменных к сумме квадратов и потому имеет ровно один локальный минимум.
Кроме того, $d$ не может быть нечетным, т.к. тогда старшая форма $h$ многочлена
$f$ --- ненулевая нечетная функция, значит, она принимает отрицательное значение
на некотором $\overline x=(x_1,\ldots,x_n)$ , откуда $f(t\overline x)\to -\infty$ при
$t\to +\infty$, значит, $f$ не ограничено снизу . Значит, ответ на вопрос может
быть отрицательным лишь начиная с $d=4$.

Допустим далее, что ответ положителен. Можно ли указать в явном виде верхнюю
оценку для $p(d,n)$ (хотя бы при $d=4$ ) как функции от $n$ : константа, полином,
экспонента, экспонента от полинома, или еще более быстро растущая функция?

Заранее спасибо. vpb.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 08:26 


13/08/14
349
Число локальных минимумов может быть бесконечно: $f(x,y)=(x^2+y^2)^2-(x^2+y^2)$. Локальные минимумы составляют окружность $x^2+y^2=0,5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 10:36 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Спасибо, Евгений.
На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.
Можете ли Вы (или другие коллеги) что-то сказать по этому поводу? vpb

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 11:26 


20/03/14
12041
vpb
 !  Устное замечание за искажение ника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
vpb в сообщении #964704 писал(а):
На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.

Ну и что это меняет? Возьмите $f(x,y)=x^2+y^2$. Здесь даже глобальных минимумов целая прямая. Хотя и не такое красивое получается, как у Evgenjy.

Или Вам с перламутровыми пуговицами? :) Лучше поищите общую ошибку в своих рассуждениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
grizzly в сообщении #964786 писал(а):
Здесь даже глобальных минимумов целая прямая

И что это за прямая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
kp9r4d
Там, похоже, опечатка. Должно было быть $(x+y)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 14:44 


14/01/11
2916
Тогда не выполнено условие
vpb в сообщении #964566 писал(а):
$f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2\to +\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
provincialka в сообщении #964851 писал(а):
Там, похоже, опечатка. Должно было быть $(x+y)^2$

Конечно. При правке перепутал скобки с квадратами -- артефакты копипастных методов :)

Но замечание Sender убивает этот пример, согласен. Мои извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 14:48 


13/08/14
349
vpb в сообщении #964704 писал(а):
На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.
Можете ли Вы (или другие коллеги) что-то сказать по этому поводу?

Вы это можете сами
vpb в сообщении #964566 писал(а):
Если $d=2$ , то легко видеть, что $f$ приводится аффинным преобразованием
переменных к сумме квадратов и потому имеет ровно один локальный минимум.

Могла бы быть линия, или вообще подпространство локальных минимумов, но это исключается условием
vpb в сообщении #964566 писал(а):
известно, что $f(x_1,\ldots,x_n)\to +\infty$ при $x_1^2+\ldots+x_n^2\to +\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 15:10 


14/01/11
2916
Могут быть ещё всякие вещи вроде $x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+y^2+xy+x+y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 22:05 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Evgenjy,
нет, я, ей-богу, сам не могу. Единственное, что я пока установил --- что при d=4, n=2 минимумов не более трех. Буду признателен, если Вы напишете то, что Вам пришло в голову, в явном виде. С уважением, vpb.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение19.01.2015, 23:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i 
vpb в сообщении #965199 писал(а):
d=4, n=2
vpb, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение20.01.2015, 09:29 


13/08/14
349
vpb в сообщении #965199 писал(а):
Единственное, что я пока установил --- что при d=4, n=2 минимумов не более трех.

$f(x,y)=(x^4-x^2)+(y^4-y^2)$ имеет четыре локальных минимума.
Уточним задачу. Поскольку было показано, что локальные минимумы могут составлять целое многообразие, то следует говорить об изолированных локальных минимумах. Теперь такое соображение. По каждой переменной возьмем многочлен Чебышёва (первого рода) степени $d$. Он будет иметь $d/2$ локальных минимума ($d-$ четное). Составим сумму этих многочленов. Полученный многочлен будет иметь $(d/2)^n$ локальных минимумов. Думаю, что больше изолированных локальных минимумов получить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных
Сообщение20.01.2015, 14:19 


14/01/11
2916
Evgenjy в сообщении #965383 писал(а):
$f(x,y)=(x^4-x^2)+(y^4-y^2)$[/math] имеет четыре локальных минимума.

Это уже не укладывается в условие
vpb в сообщении #964704 писал(а):
На самом же деле меня интересует случай, когда функция по каждой переменной не более чем квадратична.

Если я правильно понимаю, это означает, что степень каждой из переменной в любом члене этого многочлена не превышает 2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group