2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 16:57 


03/06/12
1440
Проверьте, пожалуйста, решение задачи.
Задача. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенство
$\left|\dfrac{z}{\left|z\right|}-1\right|\leq\left|arg\, z\right|$.
Доказательство. Я считаю, что $-\pi<arg\, z\leq\pi$. Итак, $\dfrac{z}{\left|z\right|}=\cos\phi+\mathit{i}\sin\phi$, тогда $\dfrac{z}{\left|z\right|}-1=2\sin0,5\phi(-\sin0,5\phi+\mathit{i}\cos0,5\phi$, и, значит, весь сыр-бор сводится к неравенству $2\left|\sin0,5\phi\right|\leq\left|\phi\right|$ для $\phi$ из указанного промежутка, или $\left|\sin0,5\phi\right|\leq\left|\dfrac{\phi}{2}\right|$. Я это неравенство припоминаю, но в книгах не могу найти. Поэтому попробую доказать. Если $\left|\dfrac{\phi}{2}\right|\geq1$, то доказывать нечего. А если
$\left|\dfrac{\phi}{2}\right|<1$, то это неравенство следует из того, что минимум расстояние между двумя точками достигает на отрезке. Это при $\arg z\neq0$. В обратном случае непосредственно подсчитываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 17:00 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Sinoid в сообщении #964263 писал(а):
из геометрических

Да нарисуйте же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Это неравенство для $\varphi$ обычно рассматривают где-то рядом с доказательством первого замечательного предела.

От Вас хотят какой-то геометрии. Нарисуйте на плоскости $z/|z|$ (где оно должно лежать?), нарисуйте $1$. Где будет модуль разности и где модуль аргумента. Тогда все станет ясно, а по сути это повторит доказательство 1-го зам.пр.

То, что Вы получили: $|e^{i\varphi}-1|=2|\sin\frac{\varphi}2|$ -- запомните, пригодится потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 21:26 


03/06/12
1440
Otta в сообщении #964265 писал(а):
Да нарисуйте же.

А разве вот это
Sinoid в сообщении #964263 писал(а):
то это неравенство следует из того, что минимум расстояние между двумя точками достигает на отрезке.

не заменяет рисунок? (там рисунок-то пустячковый, я в уме вижу).
ex-math в сообщении #964321 писал(а):
Нарисуйте на плоскости $z/|z|$ (где оно должно лежать?)

На единичной окружности с центром в точке О.
ex-math в сообщении #964321 писал(а):
Тогда все станет ясно

Так мне уже ясно и я спрашиваю, верна или нет моя "ясность"?

-- 18.01.2015, 22:32 --

ex-math в сообщении #964321 писал(а):
От Вас хотят какой-то геометрии

Задание дано в самом начале книги, до пределов и геометрический путь представляется мне наиболее доступным в этой ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Видимо да, если мы один и тот же рисунок имеем в виду.

-- 18.01.2015, 21:34 --

Это ответ на вопрос "верна ли ясность".

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 22:43 


03/06/12
1440
ex-math в сообщении #964496 писал(а):
Видимо да, если мы один и тот же рисунок имеем в виду.

Хорошо, вот мой рисунок:
Изображение
где $\angle AOB=\angle A'OB=1\,\mbox{рад}$. $\dfrac{z}{\left|z\right|}$ лежит на красной дуге, исключая концы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение18.01.2015, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Давайте забудем про синусы. Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$, точка $B$ -- единица. Тогда длину какой линии на рисунке означает левая часть равенства из условия задачи, а какой -- правая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 13:11 


03/06/12
1440
ex-math в сообщении #964558 писал(а):
Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$,

Не совсем удачное предложение, потому что
Sinoid в сообщении #964545 писал(а):
$\angle AOB=\angle A'OB=1\,\mbox{рад}$

Давайте так. Пусть $M$- точка на красной дуге. Тогда левая часть -это отрезок $MB$, правая часть дуга $MB$. И опять-таки будем использовать то, что отрезок короче дуги с теми же концами. Мы с вами используем одно и тоже геометрическое свойство, только я исходное неравенство преобразовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 13:17 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
А 1 радиан тут каким боком вылез?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 13:49 


03/06/12
1440
Otta в сообщении #964792 писал(а):
А 1 радиан тут каким боком вылез?

Так я же писал
Sinoid в сообщении #964263 писал(а):
Если $\left|\dfrac{\phi}{2}\right|\geq1$, то доказывать нечего. А если
$\left|\dfrac{\phi}{2}\right|<1$, то это неравенство следует из

Я свел доказательство исходного неравенства к доказательству неравенства $\left|\sin\alpha\right|\leq\left|\alpha\right|$, если $\left|\alpha\right|<1\,\mbox{рад}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 14:01 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Вас ex-math попросил нарисовать картинку
ex-math в сообщении #964558 писал(а):
Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$, точка $B$ -- единица. Тогда длину какой линии на рисунке означает левая часть равенства из условия задачи, а какой -- правая?

(Какое-то недопонимание прёт.)
Нарисуйте, пожалуйста, в точности те точки, которые он просит. И укажите именно те длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 14:56 


03/06/12
1440
Изображение
Левая часть- отрезок $AB$, правая - дуга $AB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Теперь видите, что можно было не сводить к синусам?
Хотя, повторюсь, то, что Вы получили -- $|e^{ix}-1|=2|\sin\frac x2|$ -- тоже полезный продукт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 21:06 


03/06/12
1440
ex-math в сообщении #964987 писал(а):
Теперь видите, что можно было не сводить к синусам?

Да, можно и без синусов, но ведь и мое доказательство верно, только подлиннее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волковыскиий 1.7
Сообщение19.01.2015, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Разумеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group