2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ms-dos4 в сообщении #964079 писал(а):
надо ещё рассмотреть $\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$, который выкинули


Наоборот, как раз этот интеграл рассматривать не надо, потому что он не существует.

TripleLucker в сообщении #964078 писал(а):
Или я предел неправильно считаю?


Интеграл от $-R$ до $R$ тоже не существует. Надо честно сосчитать интегралы от $-R$ до $-1-\varepsilon$ и от $-1+\varepsilon$ до $R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:05 


11/12/14
148
Цитата:
Надо честно сосчитать интегралы от $-R$ до $-1-\varepsilon$ и от $-1+\varepsilon$ до $R$.


Они оба в логарифм от нуля уходят тогда:
$\[\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty ,\varepsilon  -  > 0} \ln \frac{{{{( - 1 - \varepsilon )}^3} + 1}}{{{R^3} + 1}} = \ln \frac{0}{\infty } = \ln 0\]$

Ну т.е. гадость :(.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
TripleLucker в сообщении #964085 писал(а):
$\[\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty ,\varepsilon  -  > 0} \ln \frac{{{{( - 1 - \varepsilon )}^3} + 1}}{{{R^3} + 1}} = \ln \frac{0}{\infty } = \ln 0\]$


Откуда $+1$ в числителе?

TripleLucker в сообщении #964085 писал(а):
Они оба в логарифм от нуля уходят тогда:


Потому что их нужно сначала сложить, а потом предел взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
g______d

(Оффтоп)

А разве такой финт
$\[\begin{array}{l}
{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^{ - 1 - \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  + \int\limits_{ - 1 + \varepsilon }^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ] = \\
 = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^{ - 1 - \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  + \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  + \int\limits_{ - 1 + \varepsilon }^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ] = \\
 = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ]
\end{array}\]$
Не проходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:10 


11/12/14
148
Цитата:
Откуда $+1$ в числителе?


Ну вместо $x$ подставляем $-1-\varepsilon$, а единица как была, так и осталась. Оттуда же, откуда и в знаменателе. Сейчас сложу.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ms-dos4, третий знак равенства откуда? Вы прибавили и вычли несуществующий объект? С этим надо осторожно.

TripleLucker в сообщении #964089 писал(а):
Ну вместо $x$ подставляем $-1-\varepsilon$, а единица как была, так и осталась. Оттуда же, откуда и в знаменателе.


Все равно не понял. Вы же в первообразную должны подставлять, а не в исходную функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
g______d в сообщении #964100 писал(а):
Вы же в первообразную должны подставлять, а не в исходную функцию.

Он и подставляет в первообразную (от первого слагаемого). В исходной функции логарифма нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Я всё-таки предлагаю так: в интеграле с $\frac{3x^2}{x^3+1}$ (в смысле главного значения) явно вычислить первообразную и найти пределы. А оставшийся интеграл с $\frac{1}{x^3+1}$ (в смысле главного значения) взять по вычетам. Будет вычет в $e^{2\pi i/3}$ и половина вычета в $-1$.

-- Вс, 18 янв 2015 02:48:43 --

provincialka в сообщении #964102 писал(а):
Он и подставляет в первообразную (от первого слагаемого). В исходной функции логарифма нет.


А, теперь понял, прошу прощения. Да, правильно.

-- Вс, 18 янв 2015 02:49:11 --

g______d в сообщении #964103 писал(а):
явно вычислить первообразную и найти пределы


... что, с учетом последнего замечания, уже почти сделано.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну а чем Вас вычеты не устраивают. Они и дадут главное значение. С $-1$ Вы справились, вся проблема в $C_R $. Но это тот же самый полувычет, только в бесконечности. Разложите функцию в ряд Лорана в бесконечности, формально, т.к. Вам на самом деле только первый член понадобится, и интегрируйте почленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 13:20 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
g______d

(Оффтоп)

Да, я чушь написал. Я надеялся сделать вот как. По вышенаписанной схеме $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx}  = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx}  - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} ]\]$, а $\[\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ тоже рассмотреть в смысле главного значения, т.е. по типу $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  = {\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{1}{{x + 1}}dx} \]$ (что даст нуль в пределе по $\[\varepsilon \]$), интеграл $\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ тоже даст нуль. Ну а оставшийся (т.е. $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ интегрируется стандартно с вырезом особой и даёт $\[\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\]$. Но я на это щас сам посмотрел и ужаснулся :D

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #964113 писал(а):
$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx}  = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon  \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx}  - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} ]\]$


Я, наверное, зануда, но так тоже писать тоже не очень хорошо. Хотя с ответом сойдётся, если интеграл понимать как разность значений первообразных.

Ms-dos4 в сообщении #964113 писал(а):
$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx}  = {\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{1}{{x + 1}}dx} \]$


Тоже не понятно. Там как минимум коэффициент другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 13:45 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

Есличо, я тут. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 13:58 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
g______d

(Оффтоп)

Да, вот именно, что я в данном случае имел ввиду интеграл просто как разность первообразных, что вообще говоря неверно, конечно. А про коэффициент - да, но т.к. нуль выходит, я его и не написал
P.S.Я, конечно, неправ был, это даже не обсуждается. Строго нужно делать именно так, как говорили вы


-- Вс янв 18, 2015 14:01:41 --

Lia

(Оффтоп)

Да, прекращаем :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вопрос к ТС: Вы смогли решить задачу, не используя первообразной? Имхо, от Вас именно этого преподаватель ждет.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение18.01.2015, 18:48 


11/12/14
148
ex-math в сообщении #964318 писал(а):
Вопрос к ТС: Вы смогли решить задачу, не используя первообразной? Имхо, от Вас именно этого преподаватель ждет.


Ну вы сказали разложить ряд в бесконечности, я что-то вот такое вот получил:

$\[\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \frac{3}{x}\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{3}{x}\sum\limits_{k = 0}^\infty  {{{( - 1)}^k}{{(\frac{1}{{{x^3}}})}^k} + \frac{1}{{{x^3}}}} \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{{( - 1)}^k}{{(\frac{1}{{{x^3}}})}^k}} \]$

Ну тут, если проинтегрировать, то нигде $-1$ - ой степени не получится:(. Как-то по-другому раскладывать надо?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group