2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение26.01.2015, 12:26 


31/03/06
1384
vasili в сообщении #968507 писал(а):
Дело в том, что $\frac{x^n+y^n}{x+y}=z_2^n$, и можно показать, что $z_2 \equiv 1 \mod n^2$.

Уважаемый Феликс Шмидель! Откуда Вы это взяли?


Уважаемый vasili! То, что $\frac{x^n+y^n}{x+y}=z_2^n$ это одна из формул Абеля для случая 1 ВТФ.
То, что $z_2 \equiv 1 \mod n^2$ - я показал в предыдущем сообщении.
Я доказал, что $x+y+z$ делится на $n^3$ сам много лет назад, а недавно узнал, что это доказал Флек в 1909 году (стр 166 книги Рибенбойма "Fermat's Last Theorem for Amateurs").

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 11:57 


27/03/12
449
г. новосибирск
Для этого показывают, что любой простой делитель $q$ выражения $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ сравним с $1$ по модулю $n^2$.
Уважаемый Феликс Шмидель!
Это ошибочный взгляд.
Контрпример: Пусть $n = 7$, $z_2 =15 =3(5)$ и $q = 3, 5$, тогда

$15^7 - 1\equiv 0\mod 7^2$,

но для делителей

$3^7 - 1= 2186\equiv 30\mod 7^2$,

$5^7- 1\equiv 18\mod7^2$.

Я не усмотрел в Вашем сообщении доказательство того, что $K_0\equiv 0\mod n^3$
В своих черновиках нашел, что
$z^{n-1}-1\equiv 0\mod n^2$,
$x^{n-1}-1\equiv 0\mod n^2$,
$y^{n-1}-1\equiv 0\mod n^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 14:28 


31/03/06
1384
Уважаемый vasili! Вы не дали контрпримера. Чему равны $x, y, z, n$? Учтите, что эти значения должны удовлетворять формулам Абеля, поэтому Вы не сможете привести контрпример.
Доказательство строгое. Перечитайте его ещё раз, и если возникнут какие-либо вопросы - спрашивайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 15:30 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель!
Из формулы Абеля $x^{n-1}-x^{n-2}y+......-xy^{n-1} +y^n =z_2^n$ не следует, что все делители

$z_2$ должны удовлетворять условию

$q-1\equiv0\mod n$ и тем более $q-1\equiv 0\modn^2$, где q такой делитель.

-- 27.01.2015, 18:32 --

и тем более $q-1\equiv 0\mod n^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 16:23 


31/03/06
1384
Уважаемый vasili!

Давайте разберёмся по пунктам.
1. Из формулы Абеля $x^{n-1}-x^{n-2}y+......-xy^{n-2} +y^{n-1} =z_2^n$ следует, что любой простой делитель $q$ числа $z_2$ удовлетворяет условию $q-1\equiv0\mod n$ (если $n$ - простое число).

Почему Вы отрицаете этот известный факт?
Пусть $x^n+y^n$ делится на $q$, а $x+y$ не делится на $q$.
Пусть $v \equiv -x/y \mod q$.
Тогда $v^n \equiv 1 \mod q$, а $v \not \equiv 1 \mod q$.
Но $v^{q-1} \equiv 1 \mod q$.
Следовательно, $q-1\equiv0\mod n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 18:36 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! Вот теперь убедительное доказательство и я был не прав. Значит все делители больше n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение27.01.2015, 18:51 


31/03/06
1384
Уважаемый vasili! А с тем, что $K_0$ делится на $n^3$ в случае 1 ВТФ Вы согласны теперь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 06:07 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! Да я согласен. Я рассуждал по Вашей методике....

Пусть $x_1^{n^2} +y_1^{n^2}\equiv0\mod q$,

тогда будет справедливо

$(x_1^{n^2})^n + (y_1^{n^2})^n\equiv 0\mod q$

и

$(vx_1^n)^{n^2} + (y_1^n)^{n^2}\equiv 0\mod q$,

отсюда

$v^{n^2} - 1\equiv 0\mod q$

$v^{q-1}-1\equiv 0\mod q$

$q-1\equiv \mod n^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 06:29 


31/03/06
1384
Уважаемый vasili! Неправильно. Не могли бы Вы исправить ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 12:40 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель!

должно быть $q-1\equiv 0\mod n^2$, а значит $z_2^n\equiv1\mod n^3$.

А так же по аналогии $x_2^n\equiv1\mod n^3$ и $y_2^n\equiv1\mod n^3$,

что приводит

$x_1^n + y_1^n -z_1^n =-2(x +y-z) =-2K_0x_1y_1z_1\equiv0\mod n^3$,

отсюда $K_0\equiv 0\mod n^3$. В чем ошибка?

Предложенная Вами методика позволяет, мне кажется, прийти к противоречию.
Если справедливы сравнения
$x_1^{n^2} + y_1^{n^2}\equiv 0\mod q$,

$vx_1^n + y_1^n\equiv 0\mod q$, то справедливы и сравнения

$(x_1^{n^2})^{n^K} + (y_1^{n^2})^{n^K}\equiv 0\mod q$,

$(vx_1^n)^{n^{K +1}} + (y_1^n)^{n^{K + 1}}\equiv 0\mod q$,
отсюда
$v^{n^{K +1}}-1\equiv 0\mod q$,
но благодаря МТФ
$v^{q-1}-1\equiv 0\mod q$,
тогда
$q-1\equiv0\mod n^{K +1}$,
где K любое натуральное число
Так как Решения уравнения ВТФ носят фиксированные значения целых рациональных чисел, то и числа $z_2$ принимают фиксированные значения, а значит существует такое максимальное натуральное число $K_1$, что для $z_2$ справедливо
$z_2\equiv 0\mod n^{k_1}\engo(1)$
Но методика позволяет доказать, что
$z_2\equiv 0\mod n^{k_1+1}$, что невозможно в силу (1).
Пришли к противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 13:16 


31/03/06
1384
vasili в сообщении #969927 писал(а):
$v^{n^{K +1}}-1\equiv 0\mod q$,
но благодаря МТФ
$v^{q-1}-1\equiv 0\mod q$,
тогда
$q-1\equiv0\mod n^{K +1}$

Уважаемый vasili!

Вам кажется, что из $v^{n^{K +1}}-1\equiv 0\mod q$ и $v^{q-1}-1\equiv 0\mod q$ следует, что $q-1\equiv0\mod n^{K +1}$, а на самом деле это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 15:28 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Феликс Шмидель! Хочу обосновать.
Читаю И.М.Виноградов "Основы теории чисел".

"Показатели, которым числа

принадлежат по модулю m суть делители $\varphi (m)$."

В нашем случае $m = q$, $\varphi (q )= q-1$

$n^{K +1}$- показатель которому принадлежит число v по модулю q.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 17:55 


31/03/06
1384
На какой странице? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 19:03 


27/03/12
449
г. новосибирск
Издательство "НАУКА" 1972 страница 84. пункт. d

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена уравнения ВТФ сравнением
Сообщение28.01.2015, 19:18 


31/03/06
1384
Там же читаем:

"Наименьшее из них называется: показатель, которому $a$ принадлежит по модулю $m$".
Обратите внимание на слово "наименьшее".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group