2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 15:17 


26/12/13
228
Здравствуйте.
Читаю книжку Мищенко Фоменко по дифф гему и не могу понять один момент. Они рассматривают двухмерное гладкое многообразие вложенное в трехмерное евклидово, отмечают две точки на многообразии $P , Q$ и берут вектора в этих точках и хотят проверить параллельны ли они, как я понимаю вектора обязаны находится в касательных пространствах, но как они задаются мне абсолютно непонятно, ведь вектор получается находится в $R^3$ значит нужны 3 числа что бы его определить, и почему бы нельзя просто сравнить по компонентам, даже бог с ним с $R^3$ не понятно как определяется вектор к точке принадлежащей гладкому многообразию(получается многообразие должно быть вложено в какое-то пространство и в нем будет находится этот вектор)

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 15:41 


29/08/13
225
loshka в сообщении #961262 писал(а):
не понятно как определяется вектор к точке принадлежащей гладкому многообразию(получается многообразие должно быть вложено в какое-то пространство и в нем будет находится этот вектор)

Чтобы определять касательный вектор к многообразию не обязательно его вкладывать в $\mathbb R^N$. Его определение устроено так, что пока многообразие не вложено в $\mathbb R^N$, касательный вектор будет абстрактным (это не направленный отрезок, а вектор в том смысле, что он элемент линейного пространства). После того, как Вы вложите ваше многообразие в $\mathbb R^N$ ему будет соответствовать касательный к $\mathbb R^N$ вектор, в который тот перейдёт под действием дифференциала вложения. При этом касательный к $\mathbb R^N$ вектор тоже будет абстрактным, но если дальше Вы хотите делать только линейные преобразования $\mathbb R^N$, то его можно не различать с направленным отрезком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 15:48 


26/12/13
228
вот просто тогда не понятно, в случае двухмерного многообразия вложенного в $R^3$ тогда касательный вектора будет определен тройкой чисел и вопрос о параллельности будет стоять просто о сравнение этих чисел, зачем тогда нужен параллельный перенос ?
Даже в общем случае если $M^n$ вложено в $R^N$ то вектора существует в $R^N$ и тогда почему бы просто не сравнивать их компоненты зачем нужны такие примудрствования в виде параллельного переноса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 15:57 


29/08/13
225
Нет гарантий, что даже если Вы вложите многообразие в $\mathbb R^N$ с глобальной координатной картой, то вектора с формально одинаковыми компонентами но разными точками приложения, будут оба касаться образа вложения исходного многообразия. Так что просто проверка совпадения компонент не канает, кроме случая, когда исходное многообразие и есть $\mathbb R^N$ и связность на нём евклидова. Да и не удобно постоянно искать вложения для всех случаев.
Вообще параллельный перенос вдоль кривой определяется дополнительной стркутурой на многообразии - связностью.
loshka в сообщении #961262 писал(а):
как я понимаю вектора обязаны находится в касательных пространствах

Да, но эти пространства разные, так что эти вектора - элементы разных линейных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 16:30 


26/12/13
228
просто до меня никак не может дойти этот момент, касательное пространство оно существует вне многообразия(только касается его), значит многообразие уже во что-то вложено или такой ход мысли неверен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Неверен. Это просто "наследие" нашего опыта: ведь невложенных пространств мы не видели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 16:46 


26/12/13
228
хитро это как-то все выглядит, спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63680
loshka в сообщении #961291 писал(а):
просто до меня никак не может дойти этот момент, касательное пространство оно существует вне многообразия(только касается его), значит многообразие уже во что-то вложено или такой ход мысли неверен?

Есть такая конструкция (тоже из дифференциальной геометрии, но из более дальних глав):

Возьмём (гладкое) многообразие. Возьмём его точку $x\in M.$ Пририсуем к этой точке (как к началу координат) линейное пространство такой же размерности, и назовём его касательным пространством (для этого, договоримся, что малые шаги в стороны по многообразию, в точки $x+dx,$ согласованы с этим касательным пространством по направлениям и числовым коэффициентам). Всё это можно воображать себе вложенным в какое-то объемлющее пространство, как обычную искривлённую поверхность, и касательную к ней в точке плоскость. Но это только для помощи воображению: в самой конструкции у нас есть только многообразие и пристроенное к нему линейное пространство.

Дальше, повторим ту же самую процедуру с каждой точкой многообразия. У нас получится такая конструкция: многообразие как "основа" (база), а из каждой точки растёт ещё одно пространство. Такая конструкция называется расслоение (по-английски fiber bundle, что больше похоже на щётку или посудный ёршик). Расслоения - новый тип пространств, для них строится своя теория дифференциальной геометрии (раздел "дифференциальной геометрии" в широком смысле). В данном случае, мы имеем так называемое касательное расслоение - расслоение, в котором каждый слой есть касательное пространство. От слоя к слою можно переходить не только через нулевые точки: между ними есть функции перехода (связность), позволяющие встать на любую точку слоя, и посмотреть, какая точка соответствует ей в "соседнем" слое, возведённом над точкой $x+dx.$

Так вот, чтобы работать с касательными пространствами и параллельными переносами, достаточно полностью задать на многообразии структуру касательного расслоения, и не надо ни во что ещё это многообразие вкладывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Всё это, конечно, очень инвариантно, но я бы не советовал так уж с порога пренебрегать простыми и понятными радостями параллельного переноса в плоском объемлющем пространстве. Прыгание через несколько ступенек может быть чревато боком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение13.01.2015, 21:54 
Аватара пользователя


15/08/09
1367
МПГУ (математический факультет)
Возьмите книгу Громол "дифференциальная геометрия вцелом" но только после Фоменко . Возможно многое прояснится после того как поймет что такое связность на меогообразии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение14.01.2015, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63680
Утундрий в сообщении #961559 писал(а):
Всё это, конечно, очень инвариантно, но я бы не советовал так уж с порога пренебрегать простыми и понятными радостями параллельного переноса в плоском объемлющем пространстве.

Да, это хороший вспомогательный образ. Если помнить, что он вспомогательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение14.01.2015, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Не помнить, а понимать. А понимания, в свою очередь, не будет без попыток, которые вы почему-то стараетесь зарубить на корню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение14.01.2015, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63680
Вот уж чего не делал. Напротив, зову вперёд - и в эти попытки, и в более дальние.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group