Метрика в пространстве лучей с общим началом

[Bacon]

Задача такая:
$M$ - множество всех лучей пространства с общим началом
Докажите, что расстоянием на $M$ можно назвать меру того угла между лучами, который не больше развернутого.
Постройте открытый круг радиуса $\frac{\pi }{4}$ центром которого является некоторый фиксированный луч.
Под мерой я так думаю, понимают градусную меру межу лучами.
С первыми двумя аксиомами все понятно, а вот аксиома треугольника..
Обозначим $x,y,z$ эти лучи.
Я начал рассматривать случаи:
1) Все три луча лежат в одной плоскости, тут, вроде, все понятно, если $z$ луч находится между $x,y$ то расстояние через него в $x,y$ равно расстоянию напрямую, если нет - то больше.
2) Если все три лежат в разных плоскостях, то получается они взаимно перпендикулярны и расстояние больше - выполняется
3) А вот теперь когда пара каких-то лежат в одной плоскости, а другой нет, то я что-то никак не придумаю что делать. Буду очень рад, если кто-нибудь подскажет. Никаких примечательных фактов про этот случай я не нашел.
А про вторую часть: это же такой конус получается, уходящий в бесконечность ?

[provincialka]

Bacon в сообщении #959369 писал(а):

Под мерой я так думаю, понимают градусную меру межу лучами.

Скорее, радианную.
А в чем проблема? Сформулируйте, что вы хотите доказать?

Тут нужны свойства трехгранного угла.

[Yhn112]

1) Пожалуйста, покажите мне конфигурацию, которую вы в пункте 2 рассматриваете. А то я до сих пор наивно полагал, что пара лучей, исходящих из одной точки задает плоскость.
2) Искомый факт называется "Неравенство треугольника для трёхгранного угла" (а конфигурация из лучей, о которой вы говорите, соответственно - трехгранный угол) и доказывается в учебниках геометрии за 10 класс (возможно, не во всех).

[Bacon]

provincialka
Хотел показать, что из 3 углов в 3) случае, сумма любых двух не превосходит третьего.
Спасибо, трехгранный угол это как раз то что мне нужно!
Тогда получаем:
1) Все три луча лежат в одной плоскости, тут, вроде, все понятно, если $z$ луч находится между $x,y$ то расстояние через него в $x,y$ равно расстоянию напрямую, если нет - то больше.
2) Эти три луча составляют трехгранный угол и тогда, основываясь на свойстве трехгранного угла, что каждый его плоский угол меньше суммы двух других его плоских углов. Аксиома выполняется.
Все очень просто! Еще раз спасибо за помощь!

-- 10.01.2015, 01:17 --

Yhn112
ахах Да, вы правы, погорячился я что-то, в голове просто были оси в трехмерном пространстве Это лишний случай.