2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:03 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Есть следующие два признака сходимости рядов вида $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \cdot b_n$:
Признак Абеля
Если выполняются два условия:
1) Последовательность ${b_n}$ монотонна и ограниченна
2) Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится,
тогда исходный ряд сходится.

Признак Дирихле
Если выполняются два условия:
1) Последовательность $b_n$ монотонна и бесконечно малая
2) Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ ограниченна, то есть $\exists M > 0: |A_n| < M$, где $A_n = \sum\limits_{1}^{n}a_n$
тогда исходный ряд сходится.

Разницу между первыми пунктами я вижу: в одном признаке последовательность должна просто не превосодить какое-то число, а в другом она должна стремиться к нулю. А в чем разница между вторыми пунктами? Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда. Почему в признаке Дирихле нельзя сказать, что ряд сходится?

Или имеется в виду, что последовательность не обязана неограниченно приближаться к своему пределу, и этот признак работает даже в ситуации, когда последовательность возрастает, достигает своей границы, а потом начинает приближаться к нулю? То есть ее монотонность не имеет значения.

И объясните разницу между "признаком" и "критерием". Критерий - это когда мы какое-то суждение меряем как линейкой - подходит под критерий, значит, суждение верно, не подходит - неверно? А признак - это когда для истинности суждения выполнение признака обязательно, но наверняка по этому признаку ничего сказать нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:16 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):
Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Знакопостоянного ряда.

Признак (сходимости) - достаточное условие (ее же), критерий - необходимое и достаточное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):
А в чем разница между вторыми пунктами? Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Отнюдь (сказала графиня). Отвлекаясь даже от определения сходимости ряда (хотя его и не помешало бы вызубрить). Частным случаем второго признака является признак Лейбница. В котором $a_n=(-1)^n$. И что: ряд $-1+1-1+1+1-\ldots$ -- он сходится?...

Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):
объясните разницу между "признаком" и "критерием".

Объясняю. Термин "признак" не является математическим, это некий лирический бантик. Термин же " критерий" в математике имеет строго определённое значение: это -- необходимое и достаточное условие. (ну, конечно, за исключением матстатистики, где вообще всё не как у людей)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:19 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Otta в сообщении #959331 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959330 писал(а):
Ведь ограниченность последовательности частичных сумм и есть критерий сходимости ряда.

Знакопостоянного ряда.

Признак (сходимости) - достаточное условие (ее же), критерий - необходимое и достаточное.

А разве достаточное условие не является одновременно и необходимым? Не совсем понимаю основные формы высказываний в математике.

Цитата:
Отвлекаясь даже от определения сходимости ряда (хотя его и не помешало бы вызубрить)

Ну ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Если эта последовательность ограничена, разве это не достаточное условие того, что существует предел? Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):
А разве необходимое условие не является одновременно и достаточным?

С чего бы?
из $A$ следует $B$. Тогда $A$ -- достаточное условие для $B$. А $B$ - необходимое условие для $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:26 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):
Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

Во-первых, это не последовательность. Во- вторых: о-о, как Вы правы! Это воистину нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разница между признаками Абеля и Дирихле
Сообщение09.01.2015, 23:28 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ewert в сообщении #959338 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #959335 писал(а):
Или нет? Например, последовательность {$\sin x$} ограничена, но не имеет предела.

Во-первых, это не последовательность. Во- вторых: о-о, как Вы правы! Это воистину нет.

Для натуральных $x$ будет последовательностью.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group