2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1317
Москва
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, понять, где я ошибаюсь в расчёте. Расчёт сам по себе простой, даже как-то неудобно спрашивать... :oops:
Вычисляется интеграл от модуля гауссовой кривизны тора $T^2$ по его поверхности.
Я использую параметризацию
$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм получаются
$$g_{uu}=b^2;g_{vv}=(a+b\cos u)^2;g_{uv}=0,$$
$$b_{uu}=b;b_{vv}=(a+b\cos u)\cos u;b_{uv}=0.$$
Элемент поверхности $dS=\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}dudv$, гауссова кривизна $K=\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}$.
$$\iint|K|dS=\iint\left|\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}}\right|dudv=
\iint\left|\frac{b(a+b\cos u)\cos u}{\sqrt{b^2(a+b\cos u)^2}}\right|dudv=\int\limits_0^{2\pi}dv\int\limits_0^{2\pi}|\cos u|du=8\pi.$$

Подскажите, что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Чем, собственно, не устраивает результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1317
Москва
Видите ли, я знаю, что иногда делаю в вычислениях довольно примитивные ошибки - по невнимательности.
Интеграл этот мне встретился в задачнике по дифференциальной геометрии. В ответе там $4\pi$ (в двух изданиях разных лет).
Засомневался, решил уточнить: вдруг это я ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
В условии задачи точно говорится о гауссовой, а не о скалярной кривизне?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1317
Москва
О гауссовой. Об этом я уже думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Посчитал на всякий случай $\int \sqrt g {\left| R \right| dudv} $, получил $16 \pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение07.01.2015, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1317
Москва
Так как скалярная кривизна вдвое больше гауссовой, то фактически получилось то же самое.
Ну что же, два независимых расчёта - это уже неплохо :-)

Спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
а можно и без расчетов через гауссово отображение (его якобиан равен гауссовой кривизне)
должно получится две площади сферы, то есть $8\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1317
Москва
Интересно.
Думаю, что задам тривиальный вопрос, но дифференциальной геометрии как отдельного предмета у меня не было, к сожалению...

Вы говорите, что это без расчёта можно сказать. Если я правильно понимаю, гауссово отображение ставит в соответствие каждой точке данной поверхности точку на сфере. Т.е. по крайней мере нужно построить в каждой точке поверхности единичную нормаль - это уже расчёт. Несложный, конечно, но тем не менее. А потом якобиан считать. Как это связано с площадью сферы?
Нет, какие-то полуинтуитивные соображения есть, но я их лучше даже высказывать не стану.

Хотелось бы разобраться, раз уж занялся этим вопросом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
791
ЦФО, Россия
Metford в сообщении #958148 писал(а):
Здравствуйте!
Я использую параметризацию
$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$
Подскажите, что не так?


Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно. (Обратите внимание на то, что при $a=0$ и $b=1$ конец вектора пробегает единичную сферу.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
lek в сообщении #958686 писал(а):
Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно.
Ничего подобного.


Вложения:
bagel.png
bagel.png [ 85.04 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
791
ЦФО, Россия
Утундрий в сообщении #958692 писал(а):
Ничего подобного.

Это связано с тем, что $a\ne0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Добавил картинку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение08.01.2015, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
791
ЦФО, Россия
Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение10.01.2015, 00:56 


29/08/13
222
Metford в сообщении #958658 писал(а):
Как это связано с площадью сферы?

Посмотрите теорему Гаусса-Бонне. Фактически гауссова кривизна есть коэффициент пропорциональности между формой объема удовлетворяющей условиям теоремы поверхности (двумерная, связная, компактная, без края, ориентируемая) и результата действия кодифференциала гауссова отображения на форму объема сферы.

Там довольно много всего придётся разобрать - про степень отображения. Хотя может быть можно и без неё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group