2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:29 
Аватара пользователя


27/03/14
1061
Беларусь, Минская область
Условие такое: показать, что для непрерывной на $[-l;l]$ функции имеем:$$\int\limits_{-l}^{l} f(x)dx=2\int\limits_0^l f(x)dx$$ Если она четная
Разобью данный интеграл на два:
$$\int_{l}^{-l} f(x)dx=\int\limits_{-l}^0 f(x)dx+\int\limits_0^l f(x)dx$$ Значит, нужно показать $$\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\int\limits_0^l f(x)dx$$
Пусть $\Phi(x)$- первообразная функции $f(x)$, тогда $$\int\limits_{-l}^{0}f(x)dx=\Phi(0)-\Phi(-l)=\Phi(0)-\Phi (l)$$
С другой стороны $$\int\limits_0^l f(x)dx=\Phi(l)-\Phi(0)$$ Не получается у меня это показать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:32 
Аватара пользователя


15/08/09
1368
МГУ
Можно воспользоваться симметричностью четной функции относительно оси ординат

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
может быть, замену сделать в одном из интегралов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:35 
Аватара пользователя


27/03/14
1061
Беларусь, Минская область
gris в сообщении #957941 писал(а):
может быть, замену сделать в одном из интегралов?

Замену вот такую? $f(-x)=f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:36 
Аватара пользователя


15/08/09
1368
МГУ
Ну и замена.... Это определение четной функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Замену переменной интегрирования. Вроде $y=-x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:40 
Аватара пользователя


27/03/14
1061
Беларусь, Минская область
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11340
Казань
fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12956
Так вот зачем в условии дана непрерывность. Но в рассуждениях с первообразной есть ошибка: у чётной функции она вовсе не чётна. Среди них даже можно выбрать нечётную. Но это же тоже нужно доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:42 
Аватара пользователя


13/08/13
2752
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
апример, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует.

приведите пример :-)
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
А только у непрерывной.

а вот у функции хевисайда она есть :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11340
Казань
Sicker
Тут вопрос в определениях. Конечно, есть первообразная в обобщенном смысле, как непрерывная кусочно дифференцируемая функция. Но в точном смысле превообразная - это функция $F(x)$, производная которой равна подынтегральной функции. То есть она должна быть дифференцируема. Соответственно, производная такой функции либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода, в частности, неограничена.

В этом точном смысле у функции $\operatorname{sgn} x$ на отрезке $[-1;1]$ первообразной нет.
Но еще раз повторюсь, это вопрос соглашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:00 
Аватара пользователя


13/08/13
2752
ну да, точно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:06 
Аватара пользователя


27/03/14
1061
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

Кстати, ещё вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11340
Казань
fronnya в сообщении #957991 писал(а):
вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

Уж скорее, нечетной! Правда, с точностью до константы. Подумайте, почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:08 
Аватара пользователя


27/03/14
1061
Беларусь, Минская область
Например, $y=x^2$- четная, $\Phi=x^3/3$ и она нечетна. Значит, рассуждение с первообразными вообще неудачно

-- 07.01.2015, 16:13 --

Стоп.Если $f(x)$- четная, то $\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\Phi(0)-\Phi (-l)=\Phi(0)+\Phi(l)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group