2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двумерные случайные величины
Сообщение07.01.2015, 01:14 


14/11/13
244
Случайная величина ($\xi, \eta$) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ($\mu_1, \mu_2)$ и ковариационной матрицей $\sum = \left(\begin{matrix}
 \sigma_\xi^2 & cov (\xi, \eta) \\
 cov (\eta, \xi) & \sigma_\eta^2 \\
 \end{matrix}\right)$

Найти $P(\xi-\eta>a)$, если $(\mu_1,\mu_2)=(0,5;0,5)$; $\sum = \left(\begin{matrix}
 4 & -4 \\
 -4 & 12 \\
 \end{matrix}\right); a=\sqrt{24}$

Сначала нашёл коэффициент корреляции $\xi$ и $\eta$:
$r=\frac{cov(\xi, \eta)}{\sqrt{D{\xi} D{\eta}}}=\frac{-4}{\sqrt{48}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Тогда можем найти плотность вероятности по формуле $\phi(\xi, \eta)=\frac{1}{2\pi \sigma_{\eta} \sigma_{\xi} \sqrt{1-r^2}} exp \left[-\frac{1}{2(1-r^2)} \left( \frac{(\xi-\mu_\xi)^2}{\sigma_{\xi}^2}-\frac{2r(\xi-\mu_{\xi})(\eta-\mu_{\eta})}{\sigma_{\eta} \sigma_{\xi}}  +\frac{(\eta-\mu_\eta)^2}{\sigma_{\eta}^2}    \right) \right]$

Подставляем и получаем $\phi(\xi, \eta)=\frac{1}{8\pi \sqrt{2}} exp \left[-\frac{3}{4} \left( \frac{(\xi-\frac{1}{2})^2}{4}+ \frac{2(\xi-\frac{1}{2})(\eta-\frac{1}{2})}{12}  +\frac{(\eta-\frac{1}{2})^2}{12} \right) \right] = \frac{1}{8\pi \sqrt{2}} exp \left[-\frac{3}{4} \left( \frac{(\xi+\eta-1)^2}{12}+\frac{(\xi-\frac{1}{2})^2}{6}\right) \right] $

И тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\xi\int\limits_{-\infty}^{\xi-\sqrt{24}} \phi(\xi, \eta)d\eta$

Подскажите, пожалуйста, как теперь брать этот интеграл? Похож на Гауссову функцию, но все же не она... Или может быть я просто не тем путём пошёл и есть какой-то способ попроще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двумерные случайные величины
Сообщение07.01.2015, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Не проще просто взять и выписать распределение $\xi-\eta$? Какое оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двумерные случайные величины
Сообщение11.01.2015, 02:03 


14/11/13
244
--mS-- в сообщении #957795 писал(а):
Не проще просто взять и выписать распределение $\xi-\eta$? Какое оно?

(Оффтоп)

Извиняюсь, был в отъезде

Вроде бы получилось.
Нашел мат. ожидание и дисперсию $\xi-\eta$
$\mu[\xi-\eta]=\mu[\xi]-\mu[\eta]=0$
$D[\xi-\eta]=D[\xi]+D[\eta]-2cov(\xi,\eta)=16-2(-4)=32$

Случайная величина $\xi-\eta$ тоже будет распределена нормально, а значит её функция плотности
$f(\xi-\eta)=\frac{1}{\sqrt{32}\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\xi-\eta)^2}{2*32}}= \frac{1}{8\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(\xi-\eta)^2}{64}}$

Тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{32}})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(0.87)=0.5-0.3078=0.1922$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двумерные случайные величины
Сообщение11.01.2015, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Почти. $16+8=24\neq 32$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двумерные случайные величины
Сообщение11.01.2015, 12:40 


14/11/13
244
--mS-- в сообщении #959853 писал(а):
Почти. $16+8=24\neq 32$.

М-да, что-то я совсем уже...

А правильно ведь, что плотность мы тут можем вообще не искать даже.
У нас нормальное распределение с параметрами $0, 24$

Тогда $P(\xi-\eta>\sqrt{24})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{24}})=\frac{1}{2}-$Ф$\limits_0(1)=0.5-0.3413=0.1587$

 Профиль  
                  
 
 Re: Двумерные случайные величины
Сообщение11.01.2015, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group