2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:25 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Случайная величина $\xi$ равномерно распределена на $[-1;1]$. Найти функцию и плотность распределения случайной величины $\eta = \xi^2+1$.

Мои попытки:
Плотность распределения с.в. $\xi$ будет $$f(x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \frac{1}{2}, x \in [-1;1]& \\
 0, \notin [-1;1]& \\
\end{array}
\right.$$

Так как с.в. $\eta$ не принимает отрицательных значений, то $$G(y) = 0, \quad y \leqslant 0$$

Далее нахожу: $$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}} \frac{dx}{2} = \sqrt{y-1}$$

Мы получили выражение, которым задается искомая функция распределения на некотором интервале, но я не понимаю, на каком именно.

PS. У меня есть пример, но там заданная функция распределения определена одним выражением на всей числовой прямой, и они пишут, что полученное выражение -- есть выражение для искомой функции распределения для $y>0$...

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Limit79 в сообщении #957686 писал(а):
Так как с.в. $\eta$ не принимает отрицательных значений,
И не только. Меньших 1 тоже не принимает. И больших 2.
А для остальных можно применить ваше рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
Лучше в данном случае не на плотность, а именно на функцию распределения, т.е. на вероятность выпасть туды-сюды. Она вполне тупо выражается в данном случае через исходную СВ. Ну а уж плотность после этого ещё более тупо сама собой вылезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:38 


29/08/11
1759
provincialka
При $y \leqslant 1$ и при $y \geqslatn > 2$ будет $G(y)=0$, но ведь функция распределения должна быть единицей, при $y \to +\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Почему
Limit79 в сообщении #957695 писал(а):
при $y \geqslatn > 2$ будет $G(y)=0$
Откуда это следует? Не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:47 


29/08/11
1759
provincialka
Из того, что $\eta$ не принимает значений, которые меньше $1$ и больше $2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
И что? Чему равно, например, $G(3)$? Выпишите явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:51 


29/08/11
1759
provincialka
$$G(3) = P\{\eta<3\} = \int\limits_{-\infty}^{3} g(y) dy$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Не надо интеграла. Через $\xi$ как выражается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 01:02 


29/08/11
1759
provincialka
$$G(3) = P\{\eta<3\} = P\{\xi^2+1<3\} = P\{\xi^2<2\} = P\{-\sqrt{2}<\xi<\sqrt{2}\} = F_{\xi}(\sqrt{2}) - F_{\xi}(-\sqrt{2}) = 1-0=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Последнее выражение, собственно, излишне. С какой вероятностью выполняется $\xi^2<2$? Ведь $\xi^2$ пробегает значения от 0 до 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 01:11 


29/08/11
1759
provincialka
Я вроде понял, сейчас соберу мысли и напишу :-)

-- 07.01.2015, 02:18 --

Плотность распределения с.в. $\xi$ будет $$f(x) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \frac{1}{2}, x \in [-1;1]& \\
 0, \notin [-1;1]& \\
\end{array}
\right.$$

Так как с.в. $\xi$ принимает значения только из промежутка $[-1;1]$, и случайные величины связаны зависимостью $\eta=\xi^2+1$, то с.в. $\eta$ принимает значения только из промежутка $[1;2]$, следовательно $$G(y)=0, \quad y < 1$$

На отрезке $[1;2]$ имеем... а вот не знаю, что имеем :|

На $[1;2]$ будет скорее всего $$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}} \frac{dx}{2} = \sqrt{y-1}$$

Но вот обосновать не могу.

-- 07.01.2015, 02:29 --

При $y>2$ будет $$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{0}0 dx  + \int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{2}  + \int\limits_{1}^{\sqrt{y-1}}0 dx = 1$$

Но это тоже не могу понять как получилось...

-- 07.01.2015, 02:33 --

А конкретно неясно то, почему в первом случае одни пределы интегрирования, а во втором уже другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 02:15 


29/08/11
1759
Я сделал другим способом, сначала нашел плотность, а потом, исходя из нее, функцию распределения. Единственный вопрос:

Плотность получилась такая $$f(y) = \left\{
\begin{array}{rcl}
 \frac{1}{2 \sqrt{y-1}}, y \in [1;2]& \\
 0,y \notin [1;2]& \\
\end{array}
\right.$$

Это нормально, что при $y=1$ плотность терпит бесконечный разрыв? (но интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) dy$ сходится и равен единице, как и должно быть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
К чему так много интегралов? Если $y>2$, то неравенство $\xi^2+1<y$ выполняется с вероятностью 1. Потому что оно всегда верно, для любых допустимых значений $\xi$: $$\xi^2+1\le 1+1 =2 < y$$Ничего считать здесь не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции случайных величин
Сообщение07.01.2015, 02:33 


29/08/11
1759
provincialka
Интегралы для того, что я хотел понять, как находить ф.р. через них. Но да ладно, уже по-другому нашел.

Сейчас у меня другой вопрос: по поводу бесконечного разрыва у найденной плотности...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group