2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:06 


05/01/15
25
Решая задачи по уравнениям математической физики, получаю интегралы, которые не знаю, как считать.
Вот первый из них имеет такой вид:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos \xi  \exp(-\alpha (x-\xi)^2) d\xi$$
Пробовал представить косинус как действительную часть от $\exp(-i\xi)$ и свернуть полный квадрат под экспонентой, но тогда получится, что под полным квадратом будет комплексное число. Это будет интеграл Пуассона или уже нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:13 
Заслуженный участник


09/05/13
6322
Вы лучше наоборот, сделайте замену типа $t=x-\xi$, возможно, с коэффициентом, с тем, чтобы потом косинус раскидать на две экспоненты и получить преобразование Фурье от его собственной функции (ну или похожей на то). Как-то так.
(Можно, конечно, не делать замену, а пользоваться уже готовыми свойствами преобразований Фурье, но плясать стоит именно в этом направлении.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:55 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Можно внести косинус под экспоненту, преобразовать квадратичный трёхчлен под экспонентой, получится Гауссов интеграл, сдвинутый вдоль мнимой оси и отмасштабированный вдоль действительной, и умноженный на коэффициент. Тем не менее его значение всё тоже (обоснование -- аналитичность подынтегральной функции на всей комплексной плоскости).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 14:57 
Заслуженный участник


09/05/13
6322
B@R5uk
По сути, Вы предлагаете заняться вычислением преобразования Фурье от собственной функции с нуля. Тоже интересно, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 15:06 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Не дочитал до конца вопрос, сори.
gammaker в сообщении #956685 писал(а):
Это будет интеграл Пуассона или уже нет?
И да и нет. Отличие в том, что после замены переменной интеграл будет браться не по действительной прямой комплексной плоскости, а по прямой, параллельной ей, но смещённой вдоль мнимой прямой. Тем не менее, значения по любой такой прямой у интегралов совпадают. Ответ на вопрос "Почему?" даёт ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 15:49 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
10139
Кронштадт
Вообще говоря, это готовая свертка двух стандартных функций, фурье-образы которых известны. Ее фурье-образ получается мгновенно, а обратное преобразование сделать несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 16:06 


05/01/15
25
Спасибо большое всем за ответы. Этот интеграл посчитал, задачу дорешал. Сейчас буду решать другую задачу. Там тоже какой-то нехороший интеграл должен получиться, напишу его в эту тему.

-- 05.01.2015, 17:57 --

Вот второй интеграл:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$
Мне советовали его посчитать с помощью вычетов, но я так и не понял, каким образом. Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:03 


28/05/12
203
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

И что? Вы хоть попробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:28 


05/01/15
25
Slow в сообщении #956883 писал(а):
И что? Вы хоть попробовали?

Попробовал, но получил явно что-то не то, потому что судя по ответу к задаче должен получиться интеграл ошибок erfc. Я даже не могу представить, откуда он берётся, но если считать через вычеты, он не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 21:41 
Модератор


20/03/14
7229
gammaker
Вас в Карантин унести, или сами попытки решения приведете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 22:59 


05/01/15
25
Вычет подынтегральной функции в полюсе первого порядка $il$ равен
$$\frac{\exp(\alpha l^2)}{2il}$$
Умножаю на $2\pi i$ и получаю интеграл
$$\frac{\pi}{l}\exp(\alpha l^2)$$
Сомневаюсь, что это правильно. Как я уже писал, в ответе был $erfc(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:03 
Заслуженный участник


09/05/13
6322
Чтобы так считать, нужно, чтобы условия леммы Жордана выполнялись. Вы их проверили? Не всегда же интеграл по прямой равен (с точностью до известного множителя) сумме вычетов по верхней полуплоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1596
Москва
Вычеты здесь не помогут, пробуйте что-нибудь еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение05.01.2015, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

Для начала, параметр здесь один. Сообразите, каким образом интеграл приводится к виду $\frac{1}{l}f\left( {\alpha l^2 } \right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:08 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
ex-math в сообщении #956958 писал(а):
Вычеты здесь не помогут
Почему же? Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность. Внутри неё наверняка окажется полюс, иначе бы интеграл равнялся бы нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group