2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:23 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
B@R5uk в сообщении #957040 писал(а):
Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность.

И доказывать сходимость интеграла от неограниченной в окрестности бесконечности функции к нулю. Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:46 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Простите, не понял. Не ограничена какая функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:48 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Подынтегральная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:00 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Так вроде ж ограничена:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$
И очень быстро стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:05 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Нет, эта экспонента на мнимой оси неограниченна. Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю, это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Возможно, из периодичности числителя получится какое-то рекуррентное соотношение между интегралами данного типа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:17 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Otta в сообщении #957067 писал(а):
Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю
Нет, Вы не поняли. Я же совсем другое предложил. Конформно отобразить действительную ось на окружность в комплексной плоскости и интегрировать по этой окружности. Да, поведение подынтегральной функции в результате замены переменной может испортиться, но это ещё надо проверить.

-- 06.01.2015, 04:05 --

Мне нравится такая замена переменных:
$$\xi =il\frac{1-i\zeta }{1+i\zeta }$$
Она позволяет интегрирование по прямой $-\infty <\xi <+\infty $ заменить интегрированием по кругу $\left| \zeta  \right|=1$, при этом часть подынтегральной функции (если я не ошибся с выкладками -- надо проверить) преобразуется очень красиво:
$$\frac{d\xi }{{{l}^{2}}+{{\xi }^{2}}}=-\frac{i d\zeta }{2{{l}^{2}}\zeta }$$
Дальше уже вычеты. Однако возникает проблема: особая точка попадает на контур интегрирования, возможно она всю задумку сведёт псу под хвост. А ещё надо направления интегрирования сверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 03:48 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
Вот второй интеграл:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

И в нем явно чего-то не хватает. Потому что такого ответа
gammaker в сообщении #956948 писал(а):
в ответе был $\operatorname{erfc}(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.
из него получиться не может по меньшей мере в силу отсутствия параметра $t$ в исходном интеграле. Где, похоже, тоже была какая-то свертка. И даже если и так. Очень грубое изучение асимптотики интегралов при $\alpha\to \infty$: первый стремится к нулю, второй - к единице.

По всей видимости, имеет смысл пересчитать, - если, конечно, есть уверенность в верности ответа. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
B@R5uk
Не получится. Особую точку $\zeta=i$ придется обходить по дуге окружности малого радиуса, чтобы замкнуть контур. На $\xi$-плоскости этой дуге будет соответствовать та самая большая дуга, от которой Вы хотели убежать.

-- 06.01.2015, 14:18 --

Дифференцирование по параметру дает ответ, и там действительно присутствует $\mathrm{erfc}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 15:23 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
ex-math в сообщении #957210 писал(а):
Дифференцирование по параметру дает ответ
Ну, по эль дифференцировать, похоже, нет смысла, а дифференцирование по альфа приводит к дифференциальному уравнению (если я не ошибся с выкладками):$$\begin{align}
  & \frac{dI}{d\alpha }=-\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}+{{l}^{2}}I \\ 
 & I\left( 0 \right)=\frac{\pi }{l}  
\end{align}$$Оно несомненно решается. Но это тот самый путь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
B@R5uk в сообщении #957265 писал(а):
это тот самый путь?

Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 19:40 


05/01/15
25
Утундрий в сообщении #957288 писал(а):
Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

Непременно с вычетами считать не заставляют. Это просто была рекомендация от преподавателя, у которого я спросил, как посчитать такой интеграл. Раз уж с вычетами просто не получится, то думаю, что углубляться в сложности не надо.
Попробую с дифференцированием по параметру.

Кстати, по поводу параметра $t$. Чтобы упростить формулы, я ввёл обозначение $\alpha=\frac{1}{4a^2t}$. А часть ответа с $erfc$ я прямо из ответа записал, забыв пояснить, что это в других обозначениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 21:25 


05/01/15
25
Посчитал второй интеграл, получилось
$$ \frac{\pi}{l}e^{l^2\alpha} erfc(l\sqrt{\alpha}) $$
С ответом задача почти сходится, но есть лишний множитель $\sqrt{\pi}$. Я три раза проверил вычисления, вроде всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1612
Москва
Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$. Это легко проверить -- Ваш интеграл при $\alpha=0$ равен $\pi/l$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 22:05 


05/01/15
25
ex-math в сообщении #957559 писал(а):
Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$.

В том-то и дело, что я определяю $\mathrm{erfc}$ так же, как в лекциях, которые у нас читает сам автор этого задачника. Это же вроде общепринятая функция, разве могут быть какие-то неоднозначности в её определении?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group