2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 20:11 


14/11/13
244
Ежегодная потребность в электроэнергии для НИИ составляет в среднем $500$ кВт.ч. Какой расход электроэнергии можно наблюдать в любой день недели с вероятностью не менее $0,85$? Как изменится ответ задачи, если будет известно, что значение среднего квадратичного отклонения ежегодного расхода электроэнергии составит $50$ кВт.ч?
(Институт потребляет энергию $365$ дней в году).

Похоже, что мы должны пользоваться нормальным распределением. Но не могу никак это обосновать. Почему именно нормальное...
Если нормальное, то получается, что при квадратичном отклонении СВ $\sim N(500, 2500)$ и находим с помощью Лапласа.
Расход будет $\in [500-x_0;500+x_0]$

$p=\Phi_0(\frac{500+x_0-500}{50})-\Phi_0(\frac{500-x_0-500}{50})=2\Phi_0(\frac{x_0}{50}) \Rightarrow 2\Phi_0(\frac{x_0}{50}) \geqslant 0,85$ $\Rightarrow \Phi_0(\frac{x_0}{50}) \geqslant 0,425 \Rightarrow \frac{x_0}{50} \geqslant 1,44$

$x_0=1,44*50=72$
Значит, при таком среднеквадратичном отклонении с вер-тью не менее 0.85 можно наблюдать расход от $428$ до $572$ кВт.ч

Подскажите, пожалуйста, как поступить, если среднеквадратичное отклонение не известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
У вас 500 кВт.ч - в день или в год? Написано, что в год. Еще про день недели упоминается. Это важно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Кроме того, с большой вероятностью задача не на нормальное распределение, а на неравенства Маркова, Чебышёва и т.п. Первый вопрос во всяком случае точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 20:53 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #956413 писал(а):
У вас 500 кВт.ч - в день или в год? Написано, что в год. Еще про день недели упоминается. Это важно?

Я вот тоже не совсем понял здесь условие, но похоже, что всё же 500 кВт.ч - это в год. А день недели думаю просто имеется ввиду один день.

-- 04.01.2015, 20:54 --

--mS-- в сообщении #956417 писал(а):
Кроме того, с большой вероятностью задача не на нормальное распределение, а на неравенства Маркова, Чебышёва и т.п. Первый вопрос во всяком случае точно.

А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 23:08 


14/11/13
244
А, кажется понял.
Вот для второго пункта:
Мат. ожидание для одного дня $\mu=\frac{500}{365}=1,37$
Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$
По неравенству Чебышёва: $P(\left|X-\mu\right| \geqslant a) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}$

Получаем $P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{0,019}{a^2}$
Тогда можем поменять знаки неравенств $P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant \frac{0,019}{a^2}=0,85$
Значит $a=\sqrt{\frac{0,019}{0,85}}=0,15$

И ответ тогда получается [1,22; 1,52]
Но ответ какой-то не очень красивый. Странно, что пришлось на $365$ все делить...
Но вроде бы правильно, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
SlayZar в сообщении #956518 писал(а):
Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. Но не среднеквадратичное отклонение.
SlayZar в сообщении #956518 писал(а):
Получаем $P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{0,019}{a^2}$
Тогда можем поменять знаки неравенств $P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant \frac{0,019}{a^2}=0,85$

$\mathsf P(\overline A)=1-\mathsf P(A)$.

SlayZar в сообщении #956426 писал(а):
А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?


Есть. Посмотреть, в каком разделе задачника задача. Если серьёзно, то выбор нормального распределения тут был бы вполне разумен, кабы не первый вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение04.01.2015, 23:40 


14/11/13
244
--mS-- в сообщении #956523 писал(а):
SlayZar в сообщении #956518 писал(а):
Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. Но не среднеквадратичное отклонение.


Да, точно, тогда получается находим дисперсию для одного дня $\sigma^2=\frac{2500}{365}=6,85$
$P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{6,85}{a^2}$

$P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant 1-\frac{6,85}{a^2}=0,85$

$\frac{6,85}{a^2}=0,15 \Rightarrow a=\sqrt{\frac{6,85}{0,15}}=6,76$

Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

--mS-- в сообщении #956523 писал(а):
SlayZar в сообщении #956426 писал(а):
А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?


Есть. Посмотреть, в каком разделе задачника задача. Если серьёзно, то выбор нормального распределения тут был бы вполне разумен, кабы не первый вопрос.

Но ведь для первого вопроса по неравенству Чебышёва нам все равно надо знать среднее отклонение, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
SlayZar в сообщении #956536 писал(а):
Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

Ничего такого не получается. Число $25$ вполне себе лежит между $-30$ и $43$, и не становится от этого отрицательным.
SlayZar в сообщении #956536 писал(а):
Но ведь для первого вопроса по неравенству Чебышёва нам все равно надо знать среднее отклонение, разве нет?

Поищите неравенства, где не надо знать среднеквадратичное отклонение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 00:44 


14/11/13
244
--mS-- в сообщении #956554 писал(а):
SlayZar в сообщении #956536 писал(а):
Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

Ничего такого не получается. Число $25$ вполне себе лежит между $-30$ и $43$, и не становится от этого отрицательным.

А откуда у нас эти числа?
Мы получили, что $a=6,76$ и, как я понимаю, мы должны подставить его в неравенство $\left|X-1,37\right| \leqslant a$
То есть имеем $\left|X-1,37\right| \leqslant 6,76$

Получаем $X \in [-5,39; 8,13]$

Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Так, и что Вас смущает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:16 


14/11/13
244
--mS-- в сообщении #956560 писал(а):
Так, и что Вас смущает?

Ну так получается что в любой день недели с вероятностью не менее $0,85$ можно наблюдать расход от -5,39 кВт.ч до 8,13 кВт.ч

Другими словами, мы получили, что каждый день с очень большой вероятностью может потребляться отрицательное кол-во энергии... Или же я что-то не так понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Просто оценка по неравенству Чебышева довольно грубая. Мы же не делали никаких дополнительных предположений о распределении, в частности, о положительности с.в.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:33 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #956563 писал(а):
Просто оценка по неравенству Чебышева довольно грубая. Мы же не делали никаких дополнительных предположений о распределении, в частности, о положительности с.в.

То есть это нормально или лучше написать от 0 до 8,13?
Просто иначе с точки зрения логики ответ получается неправильным...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Да нет, с точки зрения логики все нормально. Например, я могу сказать, что завтра температура воздуха будет от $-40^\circ C$ до $+30^\circ C$ -- разве это неверно? Будет. С весьма высокой вероятностью. Хотя зимой $+30^\circ C$ -- это практически невероятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные величины
Сообщение05.01.2015, 01:48 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #956573 писал(а):
Да нет, с точки зрения логики все нормально. Например, я могу сказать, что завтра температура воздуха будет от $-40^\circ C$ до $+30^\circ C$ -- разве это неверно? Будет. С весьма высокой вероятностью. Хотя зимой $+30^\circ C$ -- это практически невероятно.

Да, понимаю, о чем Вы, но ведь расход энергии - это сколько кВт потрачено. С температурой понятно, но разве расход энергии может быть отрицательным? Мы же не можем потратить $-2$ кВт...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group