Гейзенберг не знал матричного умножения?

[bin]

Недавно пролистал книгу Данин, Даниил - Вероятностный мир, Издательский дом: Знание,1981. Встретился следующий отрывок:

Цитата:

Был час, когда все показалось ему ерундой. Он увидел, что в алгебре квадратных таблиц не всегда соблюдается извечный закон: $A$, умноженное на $B$, равняется $B$, умноженному на $A$. В делах природы эта перестановочность умножения всегда почиталась самоочевидной. А тут при перемножении разных наблюдаемых величин обнаружилось, что их нельзя безнаказанно поменять местами:

$AB \neq BA.$

"Это встревожило меня ужасно", - говорил Гейзенберг. В тот час, как той же весной в Арозе, будущее механики микромира повисло на волоске.

Неужели у знаменитого Гейзенберга были столь серьезные пробелы в образовании, и он не знал свойств матричного умножения? Или, может, это огрехи популярной литературы, т.е. Данина?

[Pphantom]

bin в сообщении #956363 писал(а):

Неужели у знаменитого Гейзенберга были столь серьезные пробелы в образовании, и он не знал свойств матричного умножения? Или, может, это огрехи популярной литературы, т.е. Данина?

Да нет, вроде все верно, и Гейзенберг в этом не виноват. Если я правильно помню, матрицы как математический объект довольно долго рассматривались как некая вполне частная и сугубо абстрактная вещь, не имеющая серьезных приложений. Соответственно, математики, занимавшиеся близкими вопросами, о них знали, а все остальные - нет, в "стандартный минимум" объектов, обязательных для изучения всеми, кто как-либо связан с математикой, они не входили. Ситуация резко изменилась как раз вследствие развития квантовой механики (а потом - еще и численных методов), но это было уже позже.

[Munin]

Вообще-то это не серьёзные пробелы в образовании, а тогда вообще мало кто знал матричное умножение. Ну вот и Гейзенберг не знал. Он всё выдумал сам с нуля, а потом уже ему сказали, что в математике такая конструкция уже есть. Это общеизвестная история.

Хотя нюанс, который сообщает Данин, не так общеизвестен. Интересно, снабжает ли он рассказ ссылками на источники.

[bin]

Pphantom в сообщении #956385 писал(а):

Да нет, вроде все верно, и Гейзенберг в этом не виноват. Если я правильно помню, матрицы как математический объект довольно долго рассматривались как некая вполне частная и сугубо абстрактная вещь, не имеющая серьезных приложений. Соответственно, математики, занимавшиеся близкими вопросами, о них знали, а все остальные - нет, в "стандартный минимум" объектов, обязательных для изучения всеми, кто как-либо связан с математикой, они не входили. Ситуация резко изменилась как раз вследствие развития квантовой механики (а потом - еще и численных методов), но это было уже позже.

И системы линейных уравнений тогда не решали?

[Pphantom]

bin в сообщении #956391 писал(а):

И системы линейных уравнений тогда не решали?

Решали, но для этого матрицы не нужны. Вернее, не нужна соответствующая полноценная теория. В школе сейчас вот тоже системы линейных уравнений вполне решают и даже делают это методом Гаусса, однако почти никому при этом про матрицы не рассказывают. А век тому назад примерно так же выглядело стандартное физико-математическое высшее образование.

[Munin]

Решали. Но для этого было достаточно не понятия матрицы, а понятия определителя.

Почитайте книжки по истории математики 19 века.

-- 04.01.2015 20:28:58 --

Кроме общих книг (из которых имеет смысл читать только Колмогорова-Юшкевича), есть специализированный труд
Muir T. Theory of determinants in the historical order of development,
четырёхтомник, написанный в 1906 - 1923 годах, охватывающий период от 1900 года. Перед ним была написана первая часть, в 1890 году, а после него - версия, дописанная Metzler-ом, впрочем, уступающая по объёму (800 страниц против двух тысяч).
У меня экземпляр, скачанный, кажется, с Колхоза, могу залить.

[мат-ламер]

По-моему Данин преувеличил. Там поначалу были непонятки, что не существует таких матриц $A,B$, что $AB-BA=\lambda I$.

-- Вс янв 04, 2015 22:14:01 --

В конце концов произведение матриц можно было записать в тензорных обозначениях.

-- Вс янв 04, 2015 22:30:05 --

Pphantom в сообщении #956397 писал(а):

А век тому назад примерно так же выглядело стандартное физико-математическое высшее образование.

А какже гессиан, критерий Сильвестра положительно определённости матрицы? И матричный критерий устойчивости дифференциального уравнения?

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #956438 писал(а):

А какже гессиан

Как уже писал выше Munin - достаточно определителя.

мат-ламер в сообщении #956438 писал(а):

критерий Сильвестра положительно определённости матрицы?

А к чему его надо было приспосабливать? Соответствующие задачи тогда массовыми не были.

мат-ламер в сообщении #956438 писал(а):

И матричный критерий устойчивости дифференциального уравнения?

Аналогично.

[bin]

Munin в сообщении #956386 писал(а):

Хотя нюанс, который сообщает Данин, не так общеизвестен. Интересно, снабжает ли он рассказ ссылками на источники.

Конкретных ссылок в книге нет. Есть список литературы.

Munin в сообщении #956399 писал(а):

Но для этого было достаточно не понятия матрицы, а понятия определителя.

Да, если решать по Крамеру. Этот метод, если верить википедии, был предложен в 1750 г. BTW там же утверждается, что метод Гаусса был описан задолго до Гаусса в китайском трактате «Математика в девяти книгах». Может, чисто психологическая кажимость: кажется, что от понятия определителя до матрицы один крохотный шаг. И кажется, что для решения нетривиальных систем методом Гаусса нужна таблица коэффицентов СЛУ, т.е. матрица. Систему из двух уравнений с двумя неизвестными, конечно же, можно решать по-школьному подстановкой, но для систем большего размера удобство таблицы кажется очевидным. Процитирую Википедию:

Цитата:

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а, также, при рассмотрении линейных преобразований.

СЛУ образуются при решении многих элементарных задач уровня арифметики Магницкого. И мне кажется очень странным, что исследование СЛУ (когда есть единственное решение, и когда решений нет, и когда их много) не входило в "обязательный минимум" конца ХIX - начала ХХ веков.

Munin в сообщении #956399 писал(а):

У меня экземпляр, скачанный, кажется, с Колхоза, могу залить.

Спасибо. Прочту с большим интересом (свой адрес пришлю в ЛС).

[Munin]

Да не надо никаких адресов в ЛС, держите: http://rghost.ru/60145621

-- 05.01.2015 11:05:51 --

bin в сообщении #956493 писал(а):

Может, чисто психологическая кажимость: кажется, что от понятия определителя до матрицы один крохотный шаг. И кажется, что для решения нетривиальных систем методом Гаусса нужна таблица коэффицентов СЛУ, т.е. матрица. Систему из двух уравнений с двумя неизвестными, конечно же, можно решать по-школьному подстановкой, но для систем большего размера удобство таблицы кажется очевидным.

Ну да. В истории науки такое часто бывает: что-то кажется очевидным, после того, как оно уже сделано. А поначалу - не-е-е.

Я тут прикинул, в современной математике понятие определителя породило аж несколько понятий: матрица, форма объёма... Поначалу они были слившимся воедино нечтом, и хотя уже в таком виде могли применяться и приносить много пользы, но хирургически точно разделить их на несколько понятий - это был шаг весьма нетривиальный. Вообще в 19 веке очень постепенно вырабатывалась идея, что набор чисел тоже может быть самостоятельным алгебраическим объектом, да и само понятие алгебры постепенно вылуплялось из единственной богом данной алгебры чисел, во множество различных алгебр и алгебро-подобных конструкций. В этом процессе поучаствовали, не в хронологическом порядке:
- булева алгебра, она же алгебра логики;
- комплексные и гиперкомплексные числа, постепенно осознанные как алгебраические системы; прежде всего - кватернионы, а потом прорвало;
- те же кватернионы породили (уже на излёте 20 века) отдельное понятие вектора, которое оказалось невероятно мощным и универсальным, но потом; поначалу с ним работали очень потихоньку;
- медленно и подспудно зарождалось представление о тензорах, поначалу в физике: в кристаллографии, в теории упругости;
- параллельно развивалась теория Грассмана "исчисление внешних форм", которая в конечном счёте оказалась во многом дубликатом теории векторов и тензоров.
Все эти вещи происходили весьма постепенно и размеренно, и даже если что-то и появлялось в начале века, то не сразу исследовалось на полную катушку, а довольно долго воспринималось как маргинальная диковина, не инструмент, а экспонат кунсткамеры. И только к концу века, и особенно к рубежу 19-20 веков, произошла смена парадигмы: аксиоматический метод позволил отнестись к этим вещам как к явлениям одной природы, оставить сомнения и стеснения, и начать использовать, тем более что от физики поступили запросы: на 4-мерные векторы и тензоры, потом на $n$-мерные векторы и матрицы, да и в математике теория собственных колебаний требовала такого же аппарата. А потом уже пришли Бурбаки и навели порядок, разложив всё на кирпичики алгебраических структур, как это сейчас во всех учебниках излагается.

[Евгений Машеров]

Само понятие матрицы было известно, его предложил Сильвестр в 1850, в 1858 году появляется "Мемуар по теории матриц" Кэли, где появляется теорема Гамильтона-Кэли

Цитата:

Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

, примерно тогда же Эйзенштейн обратил внимание на некоммутативность матричного произведения. Впрочем, многие результаты, теперь числящиеся за теорией матриц, были получены до того, но сформулированы в терминах квадратических форм, детерминантов и пр. Современное обозначение $[a_{i,j}]$ появилось лишь в 1913 году. Причём это рассматривалось, как очень частный и далёкий от физики и вообще от практики раздел математики. Скажем, в Брокгаузе и Ефроне матрица это только

Цитата:

— вогнутая часть формы, в которой пластическое тело формуется давлением (см. Медальерное дело). В частности медная пластинка с углубленным отпечатком, служащая для получения типографского шрифта; см. Словолитное дело. М. (в красильном деле) называется деревянная пластинка с вырезанным на ней рельефом какого-нибудь узора, служащая для отливки металлических набивных форм.

, хотя про дифференциальное и интегральное исчисление и т.п. в энциклопедии довольно подробно.
Само существование некоммутативного умножения было известно, в связи с кватернионами, открытыми в 1847 и довольно модными (в том числе среди физиков) в период до 1880-х, когда было развито векторное исчисление, и кватернионы перешли в разряд математических диковинок. Математики-алгебраисты о таком явлении знали, но именно, как "внутреннее знание", без практических приложений.

[sdf]

Munin в сообщении #956643 писал(а):

да и само понятие алгебры постепенно вылуплялось из единственной богом данной алгебры чисел, во множество различных алгебр и алгебро-подобных конструкций.

Но ведь все эти алгебры и конструкции это построения основанные на алгебре чисел?

[Munin]

sdf в сообщении #956727 писал(а):

Но ведь все эти алгебры и конструкции это построения основанные на алгебре чисел?

Нет. Скорее, "по образцу и подобию". Скажем, взяв за образец операцию сложения или умножения, мы получаем такие вещи, как группы, кольца, поля, модули, векторные пространства. Взяв за образец отношение неравенства - мы получаем решётки. Где-то они могут быть связаны с числами, где-то они "сильнее" чисел, где-то наоборот, "слабее". Например, числа могут быть вложены в алгебру матриц над числовым полем, но не в произвольную группу. Зато группа может быть вложена в матрицы, опять же (если аккуратно поговорить про бесконечности). В общем, целый зоопарк, с кучей логических связей.

[Alexu007]

Какой физический смысл в умножении матриц?

[Munin]

Никакого. Как и в умножении чисел.

Вот если взять матрицы, имеющие какой-то физический смысл, то и в умножении появляется физический смысл.