2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение03.01.2015, 20:03 


27/04/14
4
Доказать, что ряд $    y = 1 + (\frac{1}{2})^2z + (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})^2z^2  + \dots + (\frac{1\cdot3\dots(2n-1)}{2\cdot4\dots2n})^2z^n + \dots      $
удовлетворяет условию:
$  z(1-z)\frac{d^2y}{dz^2} + (1-2z)\frac{dy}{dz} - \frac{1}{4}y = 0 $
Привел к виду: $y = 1 + \sum\limits_{i=1}^{\infty}z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2   $
Нашел 1, 2 производную: $  y' =  \frac{1}{4}+ \sum\limits_{i=2}^{\infty}iz^{i-1}\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 \hspace{1cm}
  y'' =  \frac{18}{64}+ \sum\limits_{i=3}^{\infty}iz^{i-1}\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 
   $
Пробовал подставить в доказываемое равенство и возможно сократить что-то, к результату не пришел.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение03.01.2015, 20:36 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Это же гипергеометрическое уравнение, а решение --- гипергеометрическая функция. Достаточно будет указать, что для этого уравнения именно эта гипергеометрическая функция подходит (не в смысле подстановки, а в смысле аргументов)

 Профиль  
                  
 
 Re: задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение10.01.2015, 22:58 


27/04/14
4
Мне надо это доказать в лоб, у нас еще не было гипергеометрических уравнений.
Подставив в уравнение производные, получил:
\sum\limits_{i=2}^{\infty}i(i-1)z^{i-1}\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 - \sum\limits_{i=2}^{\infty}i(i-1)z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 + \sum\limits_{i=2}^{\infty}iz^{i-1}\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 - 2\sum\limits_{i=2}^{\infty}iz^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 + \frac{1}{4}  \sum\limits_{i=2}^{\infty}z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2 + \frac{1}{4}
Сгруппировал первые 2 суммы:
\sum\limits_{i=2}^{\infty}z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2\frac{3i}{2}
Сгруппировал последние 3 суммы:
\sum\limits_{i=1}^{\infty}z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2(-i + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}
В итоге:
\sum\limits_{i=2}^{\infty}z^i\prod\limits_{j=1}^{i}(\frac{2j-1}{2j})^2(\frac{3i}{2} - i + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{z}{16} = 0

 Профиль  
                  
 
 Re: задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение11.01.2015, 12:17 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Коэффициент ряда при $z^k$ равен $\dfrac 1{k!}y^{(k)}(0)$. С другой стороны из диф. уравнения можно найти рекуррентное соотношение между последовательными значениями $y^{(k)}(0)$. Для этого дифференцируем нужное число раз уравнение и полагаем $z=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение11.01.2015, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12814
Москва
Этот товарисч упорно раскидывает свое упражнение по всем форумам, на комментарии пользователей не реагирует, просто ждет, кто решит? На другом форуме я указал ему на ошибки в вычислениях, здесь вижу те же самые ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача о ряде и дифференциальном уравнении
Сообщение11.01.2015, 23:04 


27/04/14
4
Обозначил $\frac{1}{k!}y^{(k)}(0) = a_k$
Подставил в уравнение:
$y' = \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=2}^{\infty}kz^{k-1}a_k$
$y'' = \frac{9}{32} + \sum\limits_{k=3}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}a_k$
Раскрыл скобки, привел подобные, ввел замену $i = k - 1$:
$\frac{9}{32}z-\frac{9}{32}z^2 + \sum\limits_{i=2}^{\infty}(i+1)iz^ia_{i+1} - \sum\limits_{i=3}^{\infty}i(i-1)z^ia_i + \sum\limits_{i=1}^{\infty}(i+1)z^ia_{i+1} - \frac{1}{2}z - 2\sum\limits_{k=2}^{\infty}kz^ka_k - \frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^ka_k$
Объединил суммы начиная с k = 3, выделив первые слагаемые:
$\frac{9}{32}z - \frac{9}{32}z^2 + 6z^2\frac{225}{2304} + 2z\frac{9}{64} + 3z^2\frac{225}{2304} - \frac{1}{2}z - 4z^2\frac{9}{64} - \frac{1}{16}z - \frac{1}{4}z^2\frac{9}{64} + \sum\limits_{i=3}^{\infty}z^ia_i((i^2 + i)\frac{2i+1}{2i+2} - (i^2-i) + (i+1)\frac{2i+1}{2i+2} - 2i -\frac{1}{4})$
При этом используя формулу: $a_{i+1} = a_i\frac{2i+1}{2i+2}$
Коэффициенты при $z$ и $z^2$ получились равные 0. Коэффициенты при степенях $z$ больших 2 равны: $a_i(\frac{i}{2} + \frac{1}{4})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group