2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 02:07 


20/11/14
89
Основное поле алгебраически замкнуто, V$ - векторное пр-во.
$\operatorname{A,B} \in EndV, \operatorname{rk[A,B]} = 1 \implies$ у этих операторов есть общий собственный вектор.

Предположим, что $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр(для этого случая просто разобраться)
Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v, v \in \ker\operatorname{[A,B]}$, тогда $[\operatorname{A,B}]v = \operatorname{(A-\lambda E)B}v = 0$
Т.е. $\operatorname{B}v$ - собственный вектор для $\operatorname{A}$.
Первый случай: $\operatorname{B}v \in Span(v)$, что равносильно тому, что он собственный для $B$ значит задача решена.
Второй случай: $\operatorname{B}v \notin Span(v)$, тогда заменим $v$ на $\operatorname{B}v$ и опять подставим его в коммутатор.
Если он не лежит в ядре, то дополнение к его оболочке и есть ядро. В этом случае выберем вектор с другим собственным значением(он есть т.к. поле замкнуто и $\operatorname{A}$ не умножение на скаляр). Он будет лежать в ядре и такой цепочкой мы не придем к вектору не из ядра.
Таким образом имеем $v, \operatorname{Bv}, \operatorname{BB}v, ..$ - собственные для $\operatorname{A}$.
В конечной размерности очевидно это дает нам совпадение на каком-то шаге.


Собственно вопрос в том, что делать с бесконечной размерностью, да это док-во я боюсь дырявое получилось..

P.S. Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 16:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Вы хотите доказывать, что "у этих операторов есть общий собственный вектор" и пишете
pooh__ в сообщении #955666 писал(а):
Пусть $\operatorname{A}v = \lambda v$<...>Что-то я подумал, все разваливается из-за того, что $v$ может лежать в ядре $\operatorname{B}$.
Это кажется мне забавным. А весь остальной текст абсолютно непонятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 21:41 


20/11/14
89
Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке? То что он тогда и будет собственным со значением 0 :mrgreen:
Но тогда все правильно значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 22:35 
Заслуженный участник


14/03/10
867
pooh__ в сообщении #955937 писал(а):
Согласен, что написано не слишком понятно, но что вас смущает в этом отрывке?
не знаю, Ваше доказательство уже с первой строчки непонятное, что делать, если $v$ не лежит в ядре коммутанта? Что такое дополнение в линейном пространстве и почему оно есть ядро? итд..

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 22:42 


20/11/14
89
Ох действительно, там нашел концептуальные косяки.
В три ночи лучше ничего не доказывать походу.

Идея была в том, что коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит. Но вот на деле дополнительное подпространство к нему можно очень многими способами выбирать и наши собственные векторы не обязаны целиком лежать в ядре...

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение03.01.2015, 23:27 
Заслуженный участник


14/03/10
867
pooh__ в сообщении #955963 писал(а):
коразмерность ядра 1, так что почти все там лежит
В моем понимании если коразмерность чего-то больше нуля, то там не лежит почти ничего :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение04.01.2015, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4272
Здесь была липа про конечномерный случай.

А в бесконечномерном случае рассмотрим $l_2(\mathbb N)$, и в нём операторы сдвига вправо (с добавлением нуля) и влево. У них коммутатор — это проектор на первый базисный вектор, но у сдвига вправо собственных векторов вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Док-во леммы Барта
Сообщение04.01.2015, 02:16 
Заслуженный участник


14/03/10
867
g______d в сообщении #956054 писал(а):
А коммутатор ранга 1 — такое вообще бывает в конечномерном случае?
$$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$Впрочем, более содержательных примеров действительно нет - все такие пары состоят из двух верхнетреугольных матриц с точностью до смены базиса. (Это следствие результата, который пытается доказывать ТС.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group