2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 17:57 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Помогите, пожалуйста, разрешить такое функциональное уравнение относительно $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$:

$$\begin{align}
  & {{h}_{1}}\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x+{{x}_{1}} \right) \\ 
 & {{h}_{2}}\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x+{{x}_{2}} \right) \\ 
\end{align}$$

С какой стороны к такого рода задачам вообще подбираться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
А про функции $h_1$, $h_2$ что-нибудь известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 20:30 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Да. Они заданы. То есть, даны функции $h_1\left(x\right)$ и $h_2\left(x\right)$, а так же числа $x_1$ и $x_2$. Надо найти функции $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ну, тогда даже я это решу. (Намек на то, что элементарные операции дают ответ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 20:52 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
StaticZero в сообщении #955218 писал(а):
Попробуйте вычесть из второго уравнения первое.

$$g\left( x+{{x}_{2}} \right)-g\left( x+{{x}_{1}} \right)={{h}_{2}}\left( x \right)-{{h}_{1}}\left( x \right)$$
Справа известная функция, а слева разность неизвестных в разных точках. Что с этим делать? В упор не вижу. Можно сделать замену переменной и избавится от $x_2$ под первой функцией, но вычитаемое никуда от этого не денется. Намекните, что дальше?

Даже задачу можно так переформулировать: дана функция $g\left( x \right)$ и число $a$, найти функцию $f\left( x \right)$, удовлетворяющую уравнению
$$f\left( x \right)-f\left( x+a \right)=g\left( x \right)$$
Блин, походу оно однозначно не решается, если добавить к $f\left( x \right)$ произвольную периодическую добавку $\varphi \left( x \right)$, удовлетворяющую условию:
$$\varphi \left( x \right)=\varphi \left( x+a \right)$$
то получим это:
$${f}'\left( x \right)-{f}'\left( x+a \right)=f\left( x \right)+\varphi \left( x \right)-f\left( x+a \right)-\varphi \left( x+a \right)=f\left( x \right)-f\left( x+a \right)$$
То есть, несколько совершенно разных функций может удовлетворять уравнению. Что с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что хотите. Дифференциальному уравнению тоже может удовлетворять несколько совершенно разных функций. А обычному уравнению - несколько совершенно разных чисел. Жизнь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А можете перечислить все свойства функций $h_1$ и $h_2$, которые могут пригодиться при решении данной задачи? А также все закономерности, которые могут связывать данные уравнения с числами $x_1$ и $x_2$.

Если это покажется сложным, тогда просто приведите полное условие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Можно несколько видоизменить равенство, сделая его таким:
$$ 
\begin{equation} \label{eq_1}
f(x + a) - f(x) = g(x)
\end{equation}
$$

Пусть $x_0$ - корень $g(x)$. При подстановке в равенство $\eqref{eq_1}$ получаем, что
$f(x_0 + a) - f(x_0) = 0$. Если $f(x)$ считать непрерывной, то на отрезке $[x_0; x_0 + a]$ (для определённости $a > 0$; если это не так, переставим концы отрезка) существует корень производной (по теореме Ролля). Если корней $g(x)$ нет, то нет и корней производной $f$, и значит, что она монотонная. Только я не знаю, может ли это чем-то помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 21:44 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
grizzly в сообщении #955233 писал(а):
А можете перечислить все свойства функций $h_1$ и $h_2$, которые могут пригодиться при решении данной задачи?
Непрерывны, сколько надо раз дифференцируемы, ограничены на всей области определения. Однако последним хотелось бы не пользоваться и решать в более общем виде в классе дифференцируемых функций.

ИСН в сообщении #955230 писал(а):
Жизнь.
ОК. Пусть будет так. Решение представимо в виде суммы однородного и неоднородного слагаемого, если говорить терминами дифференциальных уравнений. С однородным всё понятно — любое периодическое. Как найти неоднородную часть?

grizzly в сообщении #955233 писал(а):
просто приведите полное условие задачи.
Думаю, это заведёт в такие дебри, что не выбраться. Разве уже сказанного не достаточно, чтобы описать все возможные решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Этим условием
B@R5uk в сообщении #955219 писал(а):
$$f(x)-f(x+a)=g(x)$

вы описали всевозможные функции $f$. Что вам еще надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 22:01 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
demolishka в сообщении #955243 писал(а):
Что вам еще надо?
Чему равно $f\left( 0 \right)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
B@R5uk в сообщении #955240 писал(а):
Непрерывны, сколько надо раз дифференцируемы, ограничены на всей области определения. Однако последним хотелось бы не пользоваться и решать в более общем виде в классе дифференцируемых функций.


Следовательно, и $g(x)$ в примере выше непрерывная, дифференцируемая.

Вообще говоря, при разных функциях $g$ (см. мои посты) функция $f$ может принадлежать разным "классам". Иллюстрация: пусть $g(x) = \exp(x)$, тогда $f(x) = \dfrac{1}{e^a - 1} \exp(x) + c(x)$.
Пусть $g(x) = b = \operatorname{const}$, тогда $f(x) = \dfrac{bx}{a} + c(x)$ ($c(x)$ - периодическая с периодом $a$). В первом случае это "класс" экспоненциальных функций, а во втором - "класс" многочленов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
B@R5uk в сообщении #955240 писал(а):
Разве уже сказанного не достаточно, чтобы описать все возможные решения?

А, ну тогда, конечно, этого достаточно. Это сильно упрощает задачу.

Ответ к задаче: Данная система функциональных уравнений в общем случае неразрешима.
Доказательство: Рассмотрим, для примера, следующий случай: $h_1(x)\equiv 1$, $h_2(x)\equiv 0$; $x_1=0$, $x_2=0$. Подставив все данные в систему, придём к противоречию. ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
B@R5uk в сообщении #955244 писал(а):
Чему равно $f\left( 0 \right)$ ?

Произвольному числу. Потому что вместе с парой $f(x),g(x)$ решением будет также пара $f(x)+C, g(x) - C$ для любой константы $C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение01.01.2015, 22:06 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
StaticZero, вы намекаете на то, что не зная хотя бы примерный вид функции $g(x)$ нельзя записать в общем виде решение уравнения?
$$f\left( x \right)-f\left( x+a \right)=g\left( x \right)$$
То есть выход заключается в том, чтобы разложить $g(x)$ по какому-либо функциональному базису, для которого решение найти можно, и общее решение записать как ряд или интеграл разложения?

provincialka в сообщении #955247 писал(а):
Произвольному числу.
Я как бы об этом уже сам писал выше. Периодическую добавку, разумеется, надо занулить, тогда ответ будет однозначный. Помогите, пожалуйста, чем-нибудь конструктивным.
grizzly в сообщении #955246 писал(а):
Доказательство
Знаете анекдот про абсолютное точное и абсолютно бесполезное утверждение? Частный случай $a=0$, $g(x)\ne 0$ меня не интересует.


StaticZero, большое Вам спасибо за участие. Ваши сообщения очень содержательны и раскрывают для меня что-то новое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group