Функциональное уравнение

[Red_Herring]

B@R5uk в сообщении #955472 писал(а):

Кусочно-составное решение не интересно. Интересно решение, в котором явно выделена произвольное периодическое слагаемое, не зависящее от $g\left( x \right)$ и целевая часть, представляющая интерес и однозначно определяемая функцией $g\left( x \right)$ .
Впрочем, Ваше, Red_Herring, решение позволяет быть доработанным до разделения этих слагаемых, однако, мне кажется, при этом оно перейдёт в решение уже предложенное Otta в этом посте. Во всяком случае, по виду напоминает.

Разумеется, можно положить $F(x)=0$ и тогда получится частное решение $f^*(x)$, а общее будет $f^*(x) + \texttt{периодическая функция}$. Решение Otta требует сходимости ряда, т.е. не годится для, скажем $g(x)=a$, когда решение, с точностью до периодической функции будет $f(x)=x$.

Существует обширная литература по поводу функциональных и обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Для таких уравнений приходится ставить начальные условия на некотором интервале. Гуглите "уравнения с отклоняющимся аргументом" и "уравнения с запаздывающим аргументом" (я лично нахожу эту тематику booooring (yawn! yawn!))

[cool.phenon]

B@R5uk
Сейчас eqworld недоступен, но следовало бы искать в разделе функциональных уравнений

Существует целая теория касательно этих уравнений (начиная от необходимых условий и заканчивая достаточными условиями разрешимости для произвольных правых частей)

[Otta]

Red_Herring в сообщении #955468 писал(а):

Совершенно очевидно, что на любом полуоткрытом интервале длины $a$ функция $f$ может быть задана произвольно,

А! Во! конечно. Что-то же думалось, про функцию на промежутке, но так и не додумалось.
Спасибо .

(Оффтоп)

Хотя до этого можно было и самой допереть, аж обидно.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Для желающих поразвлечься с ОДУ с запаздывающим аргументом:

$$ y'(x)=y(x-1),\qquad y(x)=1 \quad \text{для } 0<x\le 1. $$

[amon]

(Оффтоп)

"Плавали, знаем!" Подобные уравнения (только нелинейные) возникают в лазерах, когда длина петли обратной связи много больше длины самого лазера. Намучились!

[Red_Herring]

(Оффтоп)

amon в сообщении #955517 писал(а):

"Плавали, знаем!" Подобные уравнения (только нелинейные) возникают в лазерах, когда длина петли обратной связи много больше длины самого лазера. Намучились!

Какие-либо гистерезисные петли?

[amon]

(Оффтоп)

К лазеру (кольцевому) диаметром 200 $\mu$m подключен световод длиной метр. Свет отражается от конца световода (плохое согласование) и возвращается в лазер. Лазер сходит с ума. Буйное помешательство лазера описывается системой задержанных уравнений.

[B@R5uk]

Так что насчёт этого уравнения?

$$f\left( x+a \right)-f\left( x \right)=\operatorname{sinc}\left( bx \right)$$

Можно ли подобрать красивое непрерывное решение без кусочного представления?

[amon]

В этом случае, вроде как, преобразование Фурье работает.

[B@R5uk]

Через преобразование Фурье вот такая ерунда получается у меня:

$$f\left( x \right)-f\left( x-a \right)=\operatorname{sinc}\left( bx \right)$$

$$\[\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 1 & x=0 \\ \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.\]$$

$$\[f\left( x \right)=\frac{1}{4\pi b}\int\limits_{-\pi b}^{\pi b}{\left( \sin \left( \omega x \right)\cot \left( \frac{\omega a}{2} \right)+\cos \left( \omega x \right) \right)d\omega }\]$$

Слагаемое с котангенсом не интегрируется в элементарных функциях. Или вообще не интегрируется в каких-нибудь разумных функциях.
Я в печали. Может можно сделать какую-нибудь периодическую добавку, чтобы решение выразилось в элементарных функциях?

[Red_Herring]

B@R5uk в сообщении #955869 писал(а):

Слагаемое с котангенсом не интегрируется в элементарных функциях. Или вообще не интегрируется в каких-нибудь разумных функциях.

В гипергеометрических функциях интегрируется
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sin%28x%29+cot+%28bx%29+dx

[B@R5uk]

А толку? На калькуляторе её значение не посчитаешь. В чуть более продвинутых программах тоже. А там ещё и действительное число в виде комплексного выражения.

Кстати, у меня вопрос. Где в процессе преобразований потерялась произвольная периодическая добавка? То есть я знаю где, в тот момент, когда я от функции перешёл к её Фурье-образу:

$$\[F\left( \omega \right)-\exp \left( -i\omega a \right)F\left( \omega \right)=\frac{1}{b\sqrt{2\pi }}\operatorname{rect}\left( \frac{\omega }{2\pi b} \right)\]$$

А вот почему?

[Red_Herring]

B@R5uk в сообщении #955969 писал(а):

Где в процессе преобразований потерялась произвольная периодическая добавка? То есть я знаю где, в тот момент, когда я от функции перешёл к её Фурье-образу:

Нет, здесь она пока есть (дались Вам произвольные константы; пусть $a=1$). Но вот рассмотрим такое уравнение:

$$(1-e^{-i\omega a})F(\omega)=0.$$

Вы думаете, что решение $F(\omega)=0$. Да, конечно. Но есть и другие, а именно суммы $\delta$–функций в нулях первого сомножителя:

$$F(\omega)=\sum _{n=-\infty}^{\infty} a_n \delta (\omega - 2\pi a^{-1}n).$$

Обратное преобразование Фурье от такой решётчатой функции будет рядом Фурье

$$f(x)=\sum _{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{2\pi nx a^{-1}i }.$$

Вот она Ваша периодическая функция.

-- 03.01.2015, 15:19 --

B@R5uk в сообщении #955969 писал(а):

А толку? На калькуляторе её значение не посчитаешь. В чуть более продвинутых программах тоже. А там ещё и действительное число в виде комплексного выражения.

Народная присказка писал(а):

На телегу спать не легу
Под телегу не хочу

Кусочное выражение тривиально считалось на компьютере, калькуляторе, русских счетах, абаке, листе бумаги, пальцах. Но Вам подавай преобразование Фурье. В общем,

Народная присказка писал(а):

за что боролись—на то и напоролись.

[B@R5uk]

Red_Herring в сообщении #955982 писал(а):

Вот она Ваша периодическая функция.

Да, действительно. Сам не сразу заметил.

Red_Herring в сообщении #955982 писал(а):

Кусочное выражение тривиально считалось на компьютере

Red_Herring в сообщении #955982 писал(а):

за что боролись—на то и напоролись

Ну, кусочное выражение не обладает определённой минималистичностью, которую хотелось бы иметь.