2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:34 


16/11/14
228
Как разбить квадрат на такие три части, которые не могут быть пересечены одним лучом одновременно?

Дополнительные, но не обязательные условия:

1. Квадрат должен быть разделен на три равные по площади части.

2. С каждой из полученных частей квадрата должна быть возможность эффективного нахождения точек пересечения луча с данными областями. Чем проще тем лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Без дополнительных условий и с открытыми частями делим квадрат прямой, потом одну из частей - прямой, перпендикулярной первой.В общем, 1, 2 четверти, и 3-ья+4-ая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12736
Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?
+++ Изоморфизм или телепатия? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:53 


16/11/14
228
provincialka в сообщении #954582 писал(а):
А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Неважно. Пойдет даже отрезок. Главное чтобы он полностью пересекал квадрат. По границе разделения луч не пройдет. Вероятность этого очень мала, что луч на практике пройдет по этой границе. Так что данный вариант не учитываем.

Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие. Иначе мы разделим квадрат на большее количество частей, что запрещено задачей.

-- 30.12.2014, 18:54 --

gris в сообщении #954585 писал(а):
Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?

Луч может испускаться совершенно из любой точки при условии что та находится за пределами квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12736
Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):
Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.
А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:08 


16/11/14
228
gris в сообщении #954589 писал(а):
Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

Это смотря как разбить. Но, в данной задаче речь идет именно о трех частей.

-- 30.12.2014, 19:11 --

provincialka в сообщении #954591 писал(а):
EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):
Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.
А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

И Вы считаете, что через эти три части нельзя провести луч? Проверьте ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12736
provincialka, можно бы двигать длинный отрезок для равновеликости, но наклонная прямая пересечёт все три :-(
Я просто пример привёл для уяснения, с четырьмя частями. Любое разбиение двумя пересекающимися внутри квадрата прямыми подойдёт. Это аффинно очевидно. С тремя не видно пока очевидного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
А, ну да. Я слишком крайние прямые рассматривала.

Но если таких частей нет, доказать это не так просто.

-- 30.12.2014, 18:23 --

Можно ли считать очевидным, что есть точка $O$, являющаяся граничной для всех трех частей? Будем считать, что части - многоугольники. Тогда в точке $O$ хотя бы один многоугольник имеет угол меньший развернутого. Тогда его можно пересечь прямой, достаточно близкой к $O$, которая пересекает и границы с двумя другими частями.

Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3700
А мы тут помогаем или решаем? :)
provincialka в сообщении #954598 писал(а):
Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

А какая разница? Если границы -- непрерывные кривые, то можно взять точку на границе любых двух частей (пусть лучше не на границе квадрата), провести через неё прямую и покрутить её по кругу. Это идея, но я не предвижу трудностей расписать дальше доказательство. Но вдруг? пусть ТС попытается сам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:38 


16/11/14
228
provincialka в сообщении #954598 писал(а):
Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

Думаете разбить квадрат фракталом? Попытайтесь. Суммарная площадь трех частей квадрата должна быть равна площади самого квадрата. С фракталом сделать это будет трудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Я фракталов вообще не знаю. Просто когда говорят "произвольные части", я сразу пугаюсь и представляю что-нибудь из книжечки Виленкина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 20:24 
Заслуженный участник


04/03/09
661
Можно порешать задачку в такой формулировке: можно ли квадрат разбить на три множества точек ненулевой меры, чтобы любая тройка точек из разных множеств не лежала на одной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение31.12.2014, 18:56 


16/11/14
228
Задачу можно упростить до следующего: "Возможно ли разбить любую простую геометрическую фигуру на три части таким образом, чтобы они не могли быть пересечены одним лучом одновременно".

В качестве первого претендента предлагаю рассмотреть треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение31.12.2014, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19798
Уфа
Простую — это какую? Может, выпуклую лучше?

(Это вы всё про сферы никак забыть не можете, угадал? Но тогда почему не куб?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group