2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 13:32 


22/11/11
380
1) Число умножили на сумму его цифр и получили $2008$. Найдите это число.

Конечным перебором получаем, что четырехзначным число не может быть, потому рассматриваем трехзначные.

$$(100a+10b+c)(a+b+c)=100a^2+100ab+100ac+10ab+10b^2+10bc+ac+cb+c^2=2008$$

Тогда $100a^2\le 2008$, то есть $a\le 4$.

Тут теперь поочередно рассматривать случаи $a=1,2,3,4$?

2) Может ли число $n^2+2n+2014$ делиться (нацело) на $121$ при некотором целом $n$?

Тут пришла идея выделить полный квадрат $n^2+2n+2014=(n+1)^2+2013$, но $2013$ не делится на $121$ (будет остаток 77))

Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?

3) Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9
по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

a) $17253461$

б) Мне кажется, что нет, но как это доказать?

4) Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.).
Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут
с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му
добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё
сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое
оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.
Изображение

Пусть сторона маленького квадрата равна $x$, тогда среднего $x+2$, большого $x+4$

Вей прополз расстояние $3x$. Ра прополз $x+2$

Так как у них одинаковая скорость, то за одно время они проползают одно расстояние. То есть $3x=x+2$, то есть $x=1$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11251
Казань
В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев остатки от деления на 3. Или, скажем, делители числа 2008 -- их не так уж много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13160
с Территории
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?
А вот теперь - полный квадрат, и смотреть делимость на 11.

-- менее минуты назад --

provincialka в сообщении #953984 писал(а):
В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев (...) делители числа 2008
Исключить перебор, я бы сказал. Рассматривать первую цифру и остальные цифры - это ненамного лучше, чем перебирать все трёхзначные числа вообще. Результат-то получится наверняка, но...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 13:46 


22/11/11
380
provincialka в сообщении #953984 писал(а):
В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев остатки от деления на 3. Или, скажем, делители числа 2008 -- их не так уж много.


Спасибо, понятно. $2008=251\cdot 8$, Тогда число $251$ подойдет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 15:22 


26/08/11
1656
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
a) $17253461$

$4 \div (6-3)=$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4405
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Тут пришла идея выделить полный квадрат $n^2+2n+2014=(n+1)^2+2013$, но $2013$ не делится на $121$ (будет остаток 77))

Здесь этого достаточно. Теперь только посмотреть, что 2013 делится на 11, а значит $(n+1)^2$ делится на 11 (иначе понятно), а значит...

-- 29.12.2014, 16:41 --

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Вей прополз расстояние $3x$.

Это утверждение не обосновано и вряд ли верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 15:48 
Заслуженный участник


04/03/09
802
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Верно?
Нет. В условии не сказано, что муравьи оказались в углах квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 15:59 


22/11/11
380
ИСН в сообщении #953988 писал(а):
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?
А вот теперь - полный квадрат, и смотреть делимость на 11.
.


$n^2+2n+78=(n+1)^2+77$

Так как $77$ делится на $11$, то и $(n+1)^2$ должно делится на 11, значит $n+1=11k$, значит $n=11k-1$ -- вот такая серия номеров. А как быть с делимостью на $121$ все-таки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 16:05 
Заморожен


20/12/10
5623
Andrei94 в сообщении #954087 писал(а):
А как быть с делимостью на $121$ все-таки?
Дык, нет её, видно же. Присмотритесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 16:18 


22/11/11
380
Shadow в сообщении #954058 писал(а):
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
a) $17253461$

$4 \div (6-3)=$


Действительно, неверно у меня. Но я понимаю, что у $7$ должны быть соседи, разность которых равна $1$

Получается несколько вариантов: $172, 273, 374, 475, 576$

Каждый из них смотреть можно в отдельности.

1) $172$ слева может быть только $6$, потому $6172$. Далее справа может быть или $5$ или $3$

Подвариант $61723$. Остались две цифры $4,5$. Справа подойдет только $5$, тогда $61723546$

Вроде подходит, верно?

-- 29.12.2014, 16:21 --

nnosipov в сообщении #954091 писал(а):
Andrei94 в сообщении #954087 писал(а):
А как быть с делимостью на $121$ все-таки?
Дык, нет её, видно же. Присмотритесь.

Спасибо, все понял с этой задачей после деления на $11$ получится число вида $11m+7$, которое не делится на $11$.

-- 29.12.2014, 16:25 --

grizzly в сообщении #954066 писал(а):
Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):
Вей прополз расстояние $3x$.

Это утверждение не обосновано и вряд ли верно.


Как-то так должно быть?
Изображение

-- 29.12.2014, 16:29 --

grizzly в сообщении #954066 писал(а):
Здесь этого достаточно. Теперь только посмотреть, что 2013 делится на 11, а значит $(n+1)^2$ делится на 11 (иначе понятно), а значит ....

$(n+1)^2$ делится на $121$, но $77$ не делится на $121$, значит их сумма не делится.

А если $(n+1)^2$ не делится на $11$, тогда и все число $(n+1)^2+121$ не делится на $11$, а значит не делится на $121$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 19:28 


26/08/11
1656
Andrei94 в сообщении #954097 писал(а):
1) $172$ слева может быть только $6$, потому $6172$. Далее справа может быть или $5$ или $3$

Далее справа может быть толко 5, потому что 2 не делится на 4. И не получается. Так же можно показать, что и в остальных двух случаев не получится. Вариантов не так много.
В подусловие б) все гораздо проще доказывается. Там нечетное число нечетных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4405
Andrei94
Если Вы ожидали моего подтверждения, то да, Вы правильно меня поняли в обоих случаях (на внесмысловые опечатки внимания не обращаю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение29.12.2014, 20:32 


26/08/11
1656
4) Если принять правый нижний угол за начало координат: координаты Му $(0;0)$, то каковы координаты Ра?
(Все они пробежали одинаковое расстояние.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение30.12.2014, 10:55 


26/08/11
1656
Shadow в сообщении #954184 писал(а):
И не получается. Так же можно показать, что и в остальных двух случаев не получится.

Извиняюсь, я не рассмотрел все возможные варианты. Есть решение на условие а)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел, комбинаторика
Сообщение30.12.2014, 16:09 


22/11/11
380
Shadow в сообщении #954208 писал(а):
4) Если принять правый нижний угол за начало координат: координаты Му $(0;0)$, то каковы координаты Ра?
(Все они пробежали одинаковое расстояние.)

У Ра $(1;1)$, а у третьего муравья $(2;2)$.
Понимаю, что одинаковое, но пока не очевидно -- в какую сторону думать.
А только методом координат можно сделать?

-- 30.12.2014, 16:24 --

3) Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9
по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Под буквой б)

У $1$ могут быть соседи только разность которых $1$

Получаем варианты:

1. $213$

2. $314$

3. $415$

4. $516$

5. $617$

6. $718$


7. $819$


Рассмотрю последний случай

7.

Тогда у $9$ могут быть следующие соседи

a) $8194$

Тогда у $4$ могут быть следующие соседи

$81945$, тогда $819453$, тогда $8194532$, тогда правый сосед $2$ может быть только $1$, противоречие

b) $8192$

....

И так нужно каждый случай расписывать в лоб или есть способ проще?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group