2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 02:50 


29/12/14
8
Здравствуйте, помогите мне пожалуйста разобраться со смыслом производной.
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ в нескольких из рекомендованных преподавателем книг, но практически во всех физический смысл определяется при помощи мгновенной скорости. Но какой физический смысл самой мгновенной скорости? Я рассуждаю так: Скорость определяется как расстояние поделенное на время. По крайней мере там меня учили в школе, и других определений нагуглить мне не удалось. Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой. О чем вообще может сказать мгновенная скорость и что она показывает?
Это несколько похоже на какой-то парадокс Зеннона или что-то такое, но с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда.
Подскажите, где я не правильно рассуждаю? Может быть стоит почитать ещё какие-то книги?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 02:58 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
TheFobos в сообщении #953848 писал(а):
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ
И умудрились не понять, что такое предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 03:07 


29/12/14
8
Aritaborian в сообщении #953850 писал(а):
TheFobos в сообщении #953848 писал(а):
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ
И умудрились не понять, что такое предел?

Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 03:15 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
TheFobos в сообщении #953851 писал(а):
Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.
So, вы не постигли физический смысл предела.
Пусть мы определяем скорость как пройденное расстояние, разделённое на прошедшее время. То есть дельта эс на дельта тэ.
Ну а теперь найдём $\lim \limits _{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Так стало чуть понятнее (раз уж вы понимаете, что такое предел)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 03:34 


29/12/14
8
Aritaborian в сообщении #953853 писал(а):
TheFobos в сообщении #953851 писал(а):
Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.
So, вы не постигли физический смысл предела.
Пусть мы определяем скорость как пройденное расстояние, разделённое на прошедшее время. То есть дельта эс на дельта тэ.
Ну а теперь найдём $\lim \limits _{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Так стало чуть понятнее (раз уж вы понимаете, что такое предел)?

Нет. Как его вычислить вполне понятно. Что предел это простыми словами - величина, к которой величина может приближаться бесконечно близко - тоже понятно. Что такое в физическом смысле - нет. Обычная скорость, пусть средняя и прямолинейная - вполне понятна, чем она больше, тем быстрее будет пройдено расстояние. Мгновенная - не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Едете вы по кривой и пройденный вами путь описывается хорошей функцией $s(t)$. В общем случае скорость конечно же различна в каждый момент времени вашего пути. Вы поинтересовались: какой же скоростью вы обладали в момент времени $t_0$ (что в это время показывал спидометр машины, например). Вот скорость в заданный момент времени это мгновенная скорость. А дальше лишь ее вычисление: рассматривая маленькую окрестность точки $t_0$ можно считать, что движение за этот промежуток времени было с постоянной скоростью и мгновенная скорость это, приближенно, средняя скорость на этом промежутке. И чем меньше окрестность вы возьмете, тем точнее будет это приближение. А предел в данном случае - это сколь угодно близкое уточнение (то бишь точное значение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 08:05 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
TheFobos в сообщении #953854 писал(а):
величина может приближаться бесконечно близко
Скорее, не удаляться бесконечно далеко :wink: Ещё точнее — ну, проще посмотреть ещё раз на определение предела. «Может приближаться» не запрещает ей тут же отскочить далеко-далеко и снова вернуться. Не говоря уж о том, что величина не приближается и не удаляется. Хотя может стремиться :wink:
TheFobos в сообщении #953854 писал(а):
Обычная скорость, пусть средняя и прямолинейная
Что ещё за прямолинейная? А бывает криволинейная скорость?
Ну, а по основному вопросу — только медитация, наверное. Вот мы меряем пройденное расстояние (от момента $t_0$) за секунду; потом за полсекунды и удваиваем ($\frac{\Delta s}{Delta t}$, помните?), потом за треть и утраиваем, потом всё дальше, дальше и дальше — это и называется переходом к пределу. Пределом как раз и будет мгновенная скорость в момент времени $t_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Господа, а разве здесь разрешено троллить и поддаваться на троллинг? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Спидометр машины - по-моему, исчерпывающее пояснение. Вот мы сели, разогнались от 0 до 60. Стрелка исчезла на 0 и появилась на 60? Нет, она прошла через все промежуточные значения, в том числе через 30. Какая была скорость в тот момент? Такая и была: 30. Сколько времени она была такая? Нисколько. Это мгновенная скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
TheFobos в сообщении #953848 писал(а):
Здравствуйте, помогите мне пожалуйста разобраться со смыслом производной.
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ в нескольких из рекомендованных преподавателем книг, но практически во всех физический смысл определяется при помощи мгновенной скорости. Но какой физический смысл самой мгновенной скорости? Я рассуждаю так: Скорость определяется как расстояние поделенное на время. По крайней мере там меня учили в школе, и других определений нагуглить мне не удалось. Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой. О чем вообще может сказать мгновенная скорость и что она показывает?
Это несколько похоже на какой-то парадокс Зеннона или что-то такое, но с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда.
Подскажите, где я не правильно рассуждаю? Может быть стоит почитать ещё какие-то книги?


У меня такое впечатление, что Ваши затруднения имеют, простите за грубое слово, философский характер. Вы самостоятельно придумали один из зеноновских софизмов, хотя у него было сформулировано изящнее. Вы, видимо, смешиваете явление (движение), его характеристику (скорость) и способ её измерения (разделить путь на время). Движение существует, что бы Вы с Зеноном о нём не думали, и имеет скорость. Но при её измерении обнаруживается, что полученная величина совсем просто (и, главное, однозначно) определяется для частного, пусть и важного случая - равномерного движения. Если же движение происходит с переменной скоростью, то результат зависит от нашего произвольного выбора моментов, в которые мы засекаем положение тела и время. Предполагая, что скорость меняется, но не бесконечно быстро, получаем, что чем ближе эти два момента времени, тем меньше неопределённости в измерении скорости, так что при переходе к пределу мы получим оценку скорости, зависящую только от единственного момента измерения, а не от того, насколько раньше интересующего нас момента мы начали и насколько позже закончили мерять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 13:25 
Аватара пользователя


14/10/13
339

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #953964 писал(а):
Движение существует, чтобы Вы с Зеноном о нём не думали...
Что бы вы ни думали (простите). А то у вас получилось: движение для того и существует, чтобы ни Зенон о нём не думал, ни автор темы.

В остальном - вы очень правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Спасибо. Исправил эту (и прочие) опечатки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 13:53 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
TheFobos в сообщении #953848 писал(а):
Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой.

Здесь ошибка.
Скорость в любой момент времени должна быть равна $v(t)=v_0+at$, по крайней мере для равноускоренного движения...
А это далеко не всегда ноль...

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 14:27 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ИСН в сообщении #953927 писал(а):
Спидометр машины - по-моему, исчерпывающее пояснение. Вот мы сели, разогнались от 0 до 60. Стрелка исчезла на 0 и появилась на 60? Нет, она прошла через все промежуточные значения, в том числе через 30. Какая была скорость в тот момент? Такая и была: 30. Сколько времени она была такая? Нисколько. Это мгновенная скорость.


Плохая аналогия. Если скорость внезапно спадет до нуля, спидометр не сможет мгновенно отреагировать на это событие и какое-то время будет показывать прежнюю скорость, которая плавно уменьшается.

Если мы резко остановим время, какая скорость будет у движущегося тела? Да никакой, потому что оно стоит на месте. Производная показывает скорость на бесконечно малом отрезке времени, этот отрезок стремится к нулю, но никогда им не станет. Поэтому производная не показывает мгновенную скорость. Мгновенная скорость - это скорость тела в тот момент, когда время остановилось и его приращение равно нулю. Но при вычислении производной приращение отлично от нуля.

Цитата:
с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда


Это нормально. Преподавателям важнее предоставить отчеты об успеваемости по окончанию сессии, чем научить. Им платят деньги не за то, что кто-то глубоко разобрался в смысле какого-то математического понятия. Поэтому на парах учат в основном практике, т.к. показателем успеваемости считается умение вычислять на бумажке. Для этого не нужно глубокое понимание предмета. Люди, не понимающие смысл того, что они делают - жертвы образовательной системы.

-- 29.12.2014, 15:58 --

Лукомор в сообщении #953993 писал(а):
TheFobos в сообщении #953848 писал(а):
Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой.

Здесь ошибка.
Скорость в любой момент времени должна быть равна $v(t)=v_0+at$, по крайней мере для равноускоренного движения...
А это далеко не всегда ноль...


А где доказательство, что для любого движущегося тела скорость в любой момент определяется каким-то уравнением? Это нам удобно так считать. Потому что так проще моделировать. На деле это такая же бессмыслица, как одномерные и двумерные пространства. Вот покажите двумерное пространство? Если одно измерение отсутствует (например, плоскость не имеет толщины), то этого просто не существует. Если толщина есть (допустим, бесконечно тонкая - физики любят фантазировать о свернутых измерениях), то это уже не двумерное пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.
Сообщение29.12.2014, 15:07 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Nurzery[Rhymes] в сообщении #954013 писал(а):
Плохая аналогия.
У ИСН плохих аналогий не бывает. Если вы её не поняли, это ваша проблема.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #954013 писал(а):
Это нормально.
Это ненормально. Очень вам сочувствую, если вы живёте в таком мире, где такое — нормально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group